Theorem fzaddel 10443

Description: Membership of a sum in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzaddel	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )

Proof of Theorem fzaddel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> J e. ZZ )
2		zaddcl 9663	. . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J + K ) e. ZZ )
3	1, 2	2thd 175	. . . 4 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J e. ZZ <-> ( J + K ) e. ZZ ) )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ZZ <-> ( J + K ) e. ZZ ) )
5		zre 9627	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
6		zre 9627	. . . . . 6 |- ( J e. ZZ -> J e. RR )
7		zre 9627	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
8		leadd1 8748	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ J e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1320	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
10	9	3expb 1235	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
11	10	adantlr 481	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
12		zre 9627	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
13		leadd1 8748	. . . . . . 7 |- ( ( J e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
14	6, 12, 7, 13	syl3an 1320	. . . . . 6 |- ( ( J e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
15	14	3com12 1238	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
16	15	3expb 1235	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
17	16	adantll 480	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
18	4, 11, 17	3anbi123d 1353	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
19		elfz1 10395	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N ) ) )
20	19	adantr 276	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N ) ) )
21		zaddcl 9663	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
22		zaddcl 9663	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
23		elfz1 10395	. . . . 5 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
24	21, 22, 23	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
25	24	anandirs 601	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
26	25	adantrl 482	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
27	18, 20, 26	3bitr4d 220	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   RRcr 8168   + caddc 8172   <_ cle 8351   ZZcz 9623   ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  fzsubel  10444  ser3mono  10902  bcp1nk  11178  mptfzshft  12187  binomlem  12228  ballotfilemfc0  13210  ballotfilemfcc  13211  gzsumshift  14126