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Theorem fzaddel 9807
Description: Membership of a sum in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzaddel  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )

Proof of Theorem fzaddel
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  J  e.  ZZ )
2 zaddcl 9062 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  +  K
)  e.  ZZ )
31, 22thd 174 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ZZ  <->  ( J  +  K )  e.  ZZ ) )
43adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  e.  ZZ  <->  ( J  +  K )  e.  ZZ ) )
5 zre 9026 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
6 zre 9026 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
7 zre 9026 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
8 leadd1 8160 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <_  J  <->  ( M  +  K )  <_  ( J  +  K )
) )
95, 6, 7, 8syl3an 1243 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  J  <->  ( M  +  K )  <_  ( J  +  K )
) )
1093expb 1167 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( M  <_  J  <->  ( M  +  K )  <_  ( J  +  K )
) )
1110adantlr 468 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( M  <_  J  <->  ( M  +  K )  <_  ( J  +  K ) ) )
12 zre 9026 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
13 leadd1 8160 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
146, 12, 7, 13syl3an 1243 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
15143com12 1170 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
16153expb 1167 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
1716adantll 467 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  <_  N  <->  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K ) ) )
184, 11, 173anbi123d 1275 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N
)  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
19 elfz1 9763 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N ) ) )
2019adantr 274 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N ) ) )
21 zaddcl 9062 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
22 zaddcl 9062 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
23 elfz1 9763 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
2421, 22, 23syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) )  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
2524anandirs 567 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
2625adantrl 469 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( J  +  K )  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) )  <->  ( ( J  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( J  +  K
)  /\  ( J  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
2718, 20, 263bitr4d 219 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   RRcr 7587    + caddc 7591    <_ cle 7769   ZZcz 9022   ...cfz 9758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-fz 9759
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