Theorem fzaddel 10293

Description: Membership of a sum in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzaddel	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )

Proof of Theorem fzaddel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> J e. ZZ )
2		zaddcl 9518	. . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J + K ) e. ZZ )
3	1, 2	2thd 175	. . . 4 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J e. ZZ <-> ( J + K ) e. ZZ ) )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ZZ <-> ( J + K ) e. ZZ ) )
5		zre 9482	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
6		zre 9482	. . . . . 6 |- ( J e. ZZ -> J e. RR )
7		zre 9482	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
8		leadd1 8609	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ J e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1315	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
10	9	3expb 1230	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
11	10	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
12		zre 9482	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
13		leadd1 8609	. . . . . . 7 |- ( ( J e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
14	6, 12, 7, 13	syl3an 1315	. . . . . 6 |- ( ( J e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
15	14	3com12 1233	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
16	15	3expb 1230	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
17	16	adantll 476	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
18	4, 11, 17	3anbi123d 1348	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
19		elfz1 10247	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N ) ) )
20	19	adantr 276	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N ) ) )
21		zaddcl 9518	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
22		zaddcl 9518	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
23		elfz1 10247	. . . . 5 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
24	21, 22, 23	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
25	24	anandirs 597	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
26	25	adantrl 478	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
27	18, 20, 26	3bitr4d 220	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   RRcr 8030   + caddc 8034   <_ cle 8214   ZZcz 9478   ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-fz 10243

This theorem is referenced by:  fzsubel  10294  ser3mono  10748  bcp1nk  11023  mptfzshft  12002  binomlem  12043  gsumgfsumlem  16683