Theorem fzaddel 9870

Description: Membership of a sum in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzaddel	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )

Proof of Theorem fzaddel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> J e. ZZ )
2		zaddcl 9118	. . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J + K ) e. ZZ )
3	1, 2	2thd 174	. . . 4 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J e. ZZ <-> ( J + K ) e. ZZ ) )
4	3	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ZZ <-> ( J + K ) e. ZZ ) )
5		zre 9082	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
6		zre 9082	. . . . . 6 |- ( J e. ZZ -> J e. RR )
7		zre 9082	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
8		leadd1 8216	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ J e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1259	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
10	9	3expb 1183	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
11	10	adantlr 469	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
12		zre 9082	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
13		leadd1 8216	. . . . . . 7 |- ( ( J e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
14	6, 12, 7, 13	syl3an 1259	. . . . . 6 |- ( ( J e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
15	14	3com12 1186	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
16	15	3expb 1183	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
17	16	adantll 468	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
18	4, 11, 17	3anbi123d 1291	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
19		elfz1 9826	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N ) ) )
20	19	adantr 274	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N ) ) )
21		zaddcl 9118	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
22		zaddcl 9118	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
23		elfz1 9826	. . . . 5 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
24	21, 22, 23	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
25	24	anandirs 583	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
26	25	adantrl 470	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
27	18, 20, 26	3bitr4d 219	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   + caddc 7647   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-fz 9822

This theorem is referenced by:  fzsubel  9871  ser3mono  10282  bcp1nk  10540  mptfzshft  11243  binomlem  11284