Theorem fzaddel 10125

Description: Membership of a sum in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzaddel	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )

Proof of Theorem fzaddel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> J e. ZZ )
2		zaddcl 9357	. . . . 5 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J + K ) e. ZZ )
3	1, 2	2thd 175	. . . 4 |- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J e. ZZ <-> ( J + K ) e. ZZ ) )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ZZ <-> ( J + K ) e. ZZ ) )
5		zre 9321	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
6		zre 9321	. . . . . 6 |- ( J e. ZZ -> J e. RR )
7		zre 9321	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
8		leadd1 8449	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ J e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1291	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
10	9	3expb 1206	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
11	10	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( M <_ J <-> ( M + K ) <_ ( J + K ) ) )
12		zre 9321	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
13		leadd1 8449	. . . . . . 7 |- ( ( J e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
14	6, 12, 7, 13	syl3an 1291	. . . . . 6 |- ( ( J e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
15	14	3com12 1209	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
16	15	3expb 1206	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
17	16	adantll 476	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J <_ N <-> ( J + K ) <_ ( N + K ) ) )
18	4, 11, 17	3anbi123d 1323	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
19		elfz1 10079	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N ) ) )
20	19	adantr 276	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N ) ) )
21		zaddcl 9357	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
22		zaddcl 9357	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
23		elfz1 10079	. . . . 5 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
24	21, 22, 23	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
25	24	anandirs 593	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
26	25	adantrl 478	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( J + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( J + K ) /\ ( J + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
27	18, 20, 26	3bitr4d 220	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( J e. ( M ... N ) <-> ( J + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   + caddc 7875   <_ cle 8055   ZZcz 9317   ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  fzsubel  10126  ser3mono  10558  bcp1nk  10833  mptfzshft  11585  binomlem  11626