ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  genipdm Unicode version

Theorem genipdm 7436
Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
genpelvl.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  <. { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
y  e.  ( 1st `  w )  /\  z  e.  ( 1st `  v
)  /\  x  =  ( y G z ) ) } ,  { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  w )  /\  z  e.  ( 2nd `  v
)  /\  x  =  ( y G z ) ) } >. )
genpelvl.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
genipdm  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, G
Allowed substitution hints:    F( x, y, z, w, v)

Proof of Theorem genipdm
StepHypRef Expression
1 genpelvl.1 . 2  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  <. { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
y  e.  ( 1st `  w )  /\  z  e.  ( 1st `  v
)  /\  x  =  ( y G z ) ) } ,  { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  w )  /\  z  e.  ( 2nd `  v
)  /\  x  =  ( y G z ) ) } >. )
2 nqex 7283 . . . 4  |-  Q.  e.  _V
32rabex 4108 . . 3  |-  { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e. 
Q.  ( y  e.  ( 1st `  w
)  /\  z  e.  ( 1st `  v )  /\  x  =  ( y G z ) ) }  e.  _V
42rabex 4108 . . 3  |-  { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e. 
Q.  ( y  e.  ( 2nd `  w
)  /\  z  e.  ( 2nd `  v )  /\  x  =  ( y G z ) ) }  e.  _V
53, 4opex 4189 . 2  |-  <. { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e. 
Q.  ( y  e.  ( 1st `  w
)  /\  z  e.  ( 1st `  v )  /\  x  =  ( y G z ) ) } ,  {
x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  w )  /\  z  e.  ( 2nd `  v
)  /\  x  =  ( y G z ) ) } >.  e. 
_V
61, 5dmmpo 6153 1  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   E.wrex 2436   {crab 2439   <.cop 3563    X. cxp 4584   dom cdm 4586   ` cfv 5170  (class class class)co 5824    e. cmpo 5826   1stc1st 6086   2ndc2nd 6087   Q.cnq 7200   P.cnp 7211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-qs 6486  df-ni 7224  df-nqqs 7268
This theorem is referenced by:  dmplp  7460  dmmp  7461
  Copyright terms: Public domain W3C validator