ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  genipdm Unicode version

Theorem genipdm 7172
Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
genpelvl.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  <. { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
y  e.  ( 1st `  w )  /\  z  e.  ( 1st `  v
)  /\  x  =  ( y G z ) ) } ,  { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  w )  /\  z  e.  ( 2nd `  v
)  /\  x  =  ( y G z ) ) } >. )
genpelvl.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
genipdm  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, G
Allowed substitution hints:    F( x, y, z, w, v)

Proof of Theorem genipdm
StepHypRef Expression
1 genpelvl.1 . 2  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  <. { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
y  e.  ( 1st `  w )  /\  z  e.  ( 1st `  v
)  /\  x  =  ( y G z ) ) } ,  { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  w )  /\  z  e.  ( 2nd `  v
)  /\  x  =  ( y G z ) ) } >. )
2 nqex 7019 . . . 4  |-  Q.  e.  _V
32rabex 4004 . . 3  |-  { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e. 
Q.  ( y  e.  ( 1st `  w
)  /\  z  e.  ( 1st `  v )  /\  x  =  ( y G z ) ) }  e.  _V
42rabex 4004 . . 3  |-  { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e. 
Q.  ( y  e.  ( 2nd `  w
)  /\  z  e.  ( 2nd `  v )  /\  x  =  ( y G z ) ) }  e.  _V
53, 4opex 4080 . 2  |-  <. { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e. 
Q.  ( y  e.  ( 1st `  w
)  /\  z  e.  ( 1st `  v )  /\  x  =  ( y G z ) ) } ,  {
x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  w )  /\  z  e.  ( 2nd `  v
)  /\  x  =  ( y G z ) ) } >.  e. 
_V
61, 5dmmpt2 6013 1  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 927    = wceq 1296    e. wcel 1445   E.wrex 2371   {crab 2374   <.cop 3469    X. cxp 4465   dom cdm 4467   ` cfv 5049  (class class class)co 5690    |-> cmpt2 5692   1stc1st 5947   2ndc2nd 5948   Q.cnq 6936   P.cnp 6947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-qs 6338  df-ni 6960  df-nqqs 7004
This theorem is referenced by:  dmplp  7196  dmmp  7197
  Copyright terms: Public domain W3C validator