Theorem dmmp 7161

Description: Domain of multiplication on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmmp	|- dom .P. = ( P. X. P. )

Proof of Theorem dmmp

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-imp 7089	. 2 |- .P. = ( x e. P. , y e. P. |-> <. { v e. Q. | E. w e. Q. E. z e. Q. ( w e. ( 1st ` x ) /\ z e. ( 1st ` y ) /\ v = ( w .Q z ) ) } , { v e. Q. | E. w e. Q. E. z e. Q. ( w e. ( 2nd ` x ) /\ z e. ( 2nd ` y ) /\ v = ( w .Q z ) ) } >. )
2		mulclnq 6996	. 2 |- ( ( w e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( w .Q z ) e. Q. )
3	1, 2	genipdm 7136	1 |- dom .P. = ( P. X. P. )

Syntax hints:   = wceq 1290   X. cxp 4450   dom cdm 4452   .Q cmq 6903   P.cnp 6911   .P. cmp 6914

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-mi 6926  df-mpq 6965  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-mqqs 6970  df-imp 7089

This theorem is referenced by:  mulassprg  7201