Theorem dmmp 7766

Description: Domain of multiplication on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmmp	|- dom .P. = ( P. X. P. )

Proof of Theorem dmmp

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-imp 7694	. 2 |- .P. = ( x e. P. , y e. P. |-> <. { v e. Q. | E. w e. Q. E. z e. Q. ( w e. ( 1st ` x ) /\ z e. ( 1st ` y ) /\ v = ( w .Q z ) ) } , { v e. Q. | E. w e. Q. E. z e. Q. ( w e. ( 2nd ` x ) /\ z e. ( 2nd ` y ) /\ v = ( w .Q z ) ) } >. )
2		mulclnq 7601	. 2 |- ( ( w e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( w .Q z ) e. Q. )
3	1, 2	genipdm 7741	1 |- dom .P. = ( P. X. P. )

Syntax hints:   = wceq 1397   X. cxp 4725   dom cdm 4727   .Q cmq 7508   P.cnp 7516   .P. cmp 7519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-oadd 6591  df-omul 6592  df-er 6707  df-ec 6709  df-qs 6713  df-ni 7529  df-mi 7531  df-mpq 7570  df-enq 7572  df-nqqs 7573  df-mqqs 7575  df-imp 7694

This theorem is referenced by:  mulassprg  7806