ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmmp Unicode version

Theorem dmmp 7161
Description: Domain of multiplication on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
dmmp  |-  dom  .P.  =  ( P.  X.  P. )

Proof of Theorem dmmp
Dummy variables  x  y  z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-imp 7089 . 2  |-  .P.  =  ( x  e.  P. ,  y  e.  P.  |->  <. { v  e.  Q.  |  E. w  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
w  e.  ( 1st `  x )  /\  z  e.  ( 1st `  y
)  /\  v  =  ( w  .Q  z
) ) } ,  { v  e.  Q.  |  E. w  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
w  e.  ( 2nd `  x )  /\  z  e.  ( 2nd `  y
)  /\  v  =  ( w  .Q  z
) ) } >. )
2 mulclnq 6996 . 2  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( w  .Q  z
)  e.  Q. )
31, 2genipdm 7136 1  |-  dom  .P.  =  ( P.  X.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1290    X. cxp 4450   dom cdm 4452    .Q cmq 6903   P.cnp 6911    .P. cmp 6914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-mi 6926  df-mpq 6965  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-mqqs 6970  df-imp 7089
This theorem is referenced by:  mulassprg  7201
  Copyright terms: Public domain W3C validator