Theorem dmmp 7908

Description: Domain of multiplication on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmmp	|- dom .P. = ( P. X. P. )

Proof of Theorem dmmp

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-imp 7836	. 2 |- .P. = ( x e. P. , y e. P. |-> <. { v e. Q. | E. w e. Q. E. z e. Q. ( w e. ( 1st ` x ) /\ z e. ( 1st ` y ) /\ v = ( w .Q z ) ) } , { v e. Q. | E. w e. Q. E. z e. Q. ( w e. ( 2nd ` x ) /\ z e. ( 2nd ` y ) /\ v = ( w .Q z ) ) } >. )
2		mulclnq 7743	. 2 |- ( ( w e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( w .Q z ) e. Q. )
3	1, 2	genipdm 7883	1 |- dom .P. = ( P. X. P. )

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   X. cxp 4772   dom cdm 4774   .Q cmq 7650   P.cnp 7658   .P. cmp 7661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-mi 7673  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-mqqs 7717  df-imp 7836

This theorem is used by:  mulassprg  7948