Theorem grpinvnzcl 13131

Description: The inverse of a nonzero group element is a nonzero group element. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvnzcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvnzcl.z	|- .0. = ( 0g ` G )
grpinvnzcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvnzcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( N ` X ) e. ( B \ { .0. } ) )

Proof of Theorem grpinvnzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3281	. . 3 |- ( X e. ( B \ { .0. } ) -> X e. B )
2		grpinvnzcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		grpinvnzcl.n	. . . 4 |- N = ( invg ` G )
4	2, 3	grpinvcl 13107	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
5	1, 4	sylan2 286	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( N ` X ) e. B )
6		eldifsn 3745	. . 3 |- ( X e. ( B \ { .0. } ) <-> ( X e. B /\ X =/= .0. ) )
7		grpinvnzcl.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
8	2, 7, 3	grpinvnz 13130	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ X =/= .0. ) -> ( N ` X ) =/= .0. )
9	8	3expb 1206	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ X =/= .0. ) ) -> ( N ` X ) =/= .0. )
10	6, 9	sylan2b 287	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( N ` X ) =/= .0. )
11		eldifsn 3745	. 2 |- ( ( N ` X ) e. ( B \ { .0. } ) <-> ( ( N ` X ) e. B /\ ( N ` X ) =/= .0. ) )
12	5, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( N ` X ) e. ( B \ { .0. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   \ cdif 3150   {csn 3618   ` cfv 5246   Basecbs 12605   0gc0g 12854   Grpcgrp 13059   invgcminusg 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1re 7956  ax-addrcl 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-inn 8973  df-2 9031  df-ndx 12608  df-slot 12609  df-base 12611  df-plusg 12695  df-0g 12856  df-mgm 12926  df-sgrp 12972  df-mnd 12985  df-grp 13062  df-minusg 13063

This theorem is referenced by: (None)