Theorem grpinvnzcl 13204

Description: The inverse of a nonzero group element is a nonzero group element. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvnzcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvnzcl.z	|- .0. = ( 0g ` G )
grpinvnzcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvnzcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( N ` X ) e. ( B \ { .0. } ) )

Proof of Theorem grpinvnzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3285	. . 3 |- ( X e. ( B \ { .0. } ) -> X e. B )
2		grpinvnzcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		grpinvnzcl.n	. . . 4 |- N = ( invg ` G )
4	2, 3	grpinvcl 13180	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
5	1, 4	sylan2 286	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( N ` X ) e. B )
6		eldifsn 3749	. . 3 |- ( X e. ( B \ { .0. } ) <-> ( X e. B /\ X =/= .0. ) )
7		grpinvnzcl.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
8	2, 7, 3	grpinvnz 13203	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ X =/= .0. ) -> ( N ` X ) =/= .0. )
9	8	3expb 1206	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ X =/= .0. ) ) -> ( N ` X ) =/= .0. )
10	6, 9	sylan2b 287	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( N ` X ) =/= .0. )
11		eldifsn 3749	. 2 |- ( ( N ` X ) e. ( B \ { .0. } ) <-> ( ( N ` X ) e. B /\ ( N ` X ) =/= .0. ) )
12	5, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( N ` X ) e. ( B \ { .0. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   \ cdif 3154   {csn 3622   ` cfv 5258   Basecbs 12678   0gc0g 12927   Grpcgrp 13132   invgcminusg 13133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136

This theorem is referenced by: (None)