Theorem grpinvnzcl 13346

Description: The inverse of a nonzero group element is a nonzero group element. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvnzcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvnzcl.z	|- .0. = ( 0g ` G )
grpinvnzcl.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvnzcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( N ` X ) e. ( B \ { .0. } ) )

Proof of Theorem grpinvnzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3294	. . 3 |- ( X e. ( B \ { .0. } ) -> X e. B )
2		grpinvnzcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		grpinvnzcl.n	. . . 4 |- N = ( invg ` G )
4	2, 3	grpinvcl 13322	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
5	1, 4	sylan2 286	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( N ` X ) e. B )
6		eldifsn 3759	. . 3 |- ( X e. ( B \ { .0. } ) <-> ( X e. B /\ X =/= .0. ) )
7		grpinvnzcl.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
8	2, 7, 3	grpinvnz 13345	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ X =/= .0. ) -> ( N ` X ) =/= .0. )
9	8	3expb 1206	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ X =/= .0. ) ) -> ( N ` X ) =/= .0. )
10	6, 9	sylan2b 287	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( N ` X ) =/= .0. )
11		eldifsn 3759	. 2 |- ( ( N ` X ) e. ( B \ { .0. } ) <-> ( ( N ` X ) e. B /\ ( N ` X ) =/= .0. ) )
12	5, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( N ` X ) e. ( B \ { .0. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   =/= wne 2375   \ cdif 3162   {csn 3632   ` cfv 5270   Basecbs 12774   0gc0g 13030   Grpcgrp 13274   invgcminusg 13275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-plusg 12864  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277  df-minusg 13278

This theorem is referenced by: (None)