Theorem eldifi 3351

Description: Implication of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldifi	|- ( A e. ( B \ C ) -> A e. B )

Proof of Theorem eldifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3229	. 2 |- ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( A e. ( B \ C ) -> A e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2209   \ cdif 3217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is used by:  difss  3355  ssddif  3465  noel  3525  phpm  7173  fidifsnen  7178  elfi2  7311  fiuni  7317  fifo  7319  ind0  9310  fzdifsuc  10504  modfzo0difsn  10852  hashf1lem1  11306  fsum3cvg  12169  summodclem2a  12172  fisumss  12183  fsumlessfi  12251  binomlem  12274  fproddccvg  12363  prodmodclem2a  12367  fprodssdc  12381  fprodeq0g  12429  fprodmodd  12432  oddprmge3  12938  oddprm  13066  nnoddn2prm  13067  nnoddn2prmb  13069  4sqlem19  13216  prmlem0  13248  ballotfilemfp1  13288  ballotfilemafi  13295  ballotfilembfi  13296  ballotfilem5  13299  ballotfilemiex  13301  ballotfilemi1  13302  ballotfilemii  13303  ballotfilemscl  13304  ballotfilemsle  13305  ballotfilemic  13307  ballotfilem1c  13308  ballotfilemscr  13319  ballotfilemro  13323  ballotfilemfg  13326  ballotfilemfrc  13327  ballotfilemfrceq  13329  ballotfilemrinv0  13333  ballotfilemth  13338  grpinvnzcl  13935  gsum2dfi  14272  ringelnzr  14602  psrlidmfi  15208  psrridmfi  15209  ply1termlem  15985  plyaddlem1  15990  plymullem1  15991  plycoeid3  16000  dvply1  16008  2irrexpqap  16231  lgslem1  16341  lgslem4  16344  lgsvalmod  16360  gausslemma2dlem0b  16391  gausslemma2dlem0c  16392  gausslemma2dlem1a  16399  gausslemma2dlem1cl  16400  gausslemma2dlem1f1o  16401  gausslemma2dlem4  16405  gausslemma2d  16410  lgsquad2  16424  m1lgs  16426  2lgsoddprm  16454  wexmiddiffilem  17265  wexmiddifxylem  17267