Theorem eldifi 3351

Description: Implication of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldifi	|- ( A e. ( B \ C ) -> A e. B )

Proof of Theorem eldifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3229	. 2 |- ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( A e. ( B \ C ) -> A e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2209   \ cdif 3217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is used by:  difss  3355  ssddif  3465  noel  3525  phpm  7167  fidifsnen  7172  elfi2  7306  fiuni  7312  fifo  7314  ind0  9303  fzdifsuc  10498  modfzo0difsn  10845  hashf1lem1  11299  fsum3cvg  12161  summodclem2a  12164  fisumss  12175  fsumlessfi  12243  binomlem  12266  fproddccvg  12355  prodmodclem2a  12359  fprodssdc  12373  fprodeq0g  12421  fprodmodd  12424  oddprmge3  12930  oddprm  13058  nnoddn2prm  13059  nnoddn2prmb  13061  4sqlem19  13208  prmlem0  13240  ballotfilemfp1  13280  ballotfilemafi  13287  ballotfilembfi  13288  ballotfilem5  13291  ballotfilemiex  13293  ballotfilemi1  13294  ballotfilemii  13295  ballotfilemscl  13296  ballotfilemsle  13297  ballotfilemic  13299  ballotfilem1c  13300  ballotfilemscr  13311  ballotfilemro  13315  ballotfilemfg  13318  ballotfilemfrc  13319  ballotfilemfrceq  13321  ballotfilemrinv0  13325  ballotfilemth  13330  grpinvnzcl  13926  ringelnzr  14543  ply1termlem  15892  plyaddlem1  15897  plymullem1  15898  plycoeid3  15907  dvply1  15915  2irrexpqap  16133  lgslem1  16217  lgslem4  16220  lgsvalmod  16236  gausslemma2dlem0b  16267  gausslemma2dlem0c  16268  gausslemma2dlem1a  16275  gausslemma2dlem1cl  16276  gausslemma2dlem1f1o  16277  gausslemma2dlem4  16281  gausslemma2d  16286  lgsquad2  16300  m1lgs  16302  2lgsoddprm  16330  wexmiddiffilem  17141  wexmiddifxylem  17143