Theorem eldifi 3351

Description: Implication of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldifi	|- ( A e. ( B \ C ) -> A e. B )

Proof of Theorem eldifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3229	. 2 |- ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( A e. ( B \ C ) -> A e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2209   \ cdif 3217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is used by:  difss  3355  ssddif  3465  noel  3525  phpm  7171  fidifsnen  7176  elfi2  7311  fiuni  7317  fifo  7319  ind0  9310  fzdifsuc  10505  modfzo0difsn  10853  hashf1lem1  11307  fsum3cvg  12170  summodclem2a  12173  fisumss  12184  fsumlessfi  12252  binomlem  12275  fproddccvg  12364  prodmodclem2a  12368  fprodssdc  12382  fprodeq0g  12430  fprodmodd  12433  oddprmge3  12939  oddprm  13067  nnoddn2prm  13068  nnoddn2prmb  13070  4sqlem19  13217  prmlem0  13249  ballotfilemfp1  13289  ballotfilemafi  13296  ballotfilembfi  13297  ballotfilem5  13300  ballotfilemiex  13302  ballotfilemi1  13303  ballotfilemii  13304  ballotfilemscl  13305  ballotfilemsle  13306  ballotfilemic  13308  ballotfilem1c  13309  ballotfilemscr  13320  ballotfilemro  13324  ballotfilemfg  13327  ballotfilemfrc  13328  ballotfilemfrceq  13330  ballotfilemrinv0  13334  ballotfilemth  13339  grpinvnzcl  13936  gsum2dfi  14273  ringelnzr  14603  psrlidmfi  15199  psrridmfi  15200  ply1termlem  15968  plyaddlem1  15973  plymullem1  15974  plycoeid3  15983  dvply1  15991  2irrexpqap  16214  lgslem1  16324  lgslem4  16327  lgsvalmod  16343  gausslemma2dlem0b  16374  gausslemma2dlem0c  16375  gausslemma2dlem1a  16382  gausslemma2dlem1cl  16383  gausslemma2dlem1f1o  16384  gausslemma2dlem4  16388  gausslemma2d  16393  lgsquad2  16407  m1lgs  16409  2lgsoddprm  16437  wexmiddiffilem  17248  wexmiddifxylem  17250