Theorem grpsubinv 13215

Description: Subtraction of an inverse. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubinv.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubinv.m	|- .- = ( -g ` G )
grpsubinv.n	|- N = ( invg ` G )
grpsubinv.g	|- ( ph -> G e. Grp )
grpsubinv.x	|- ( ph -> X e. B )
grpsubinv.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
grpsubinv	|- ( ph -> ( X .- ( N ` Y ) ) = ( X .+ Y ) )

Proof of Theorem grpsubinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubinv.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
2		grpsubinv.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
3		grpsubinv.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
4		grpsubinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5		grpsubinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
6	4, 5	grpinvcl 13190	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
7	2, 3, 6	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N ` Y ) e. B )
8		grpsubinv.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
9		grpsubinv.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
10	4, 8, 5, 9	grpsubval 13188	. . 3 |- ( ( X e. B /\ ( N ` Y ) e. B ) -> ( X .- ( N ` Y ) ) = ( X .+ ( N ` ( N ` Y ) ) ) )
11	1, 7, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( N ` Y ) ) = ( X .+ ( N ` ( N ` Y ) ) ) )
12	4, 5	grpinvinv 13209	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
13	2, 3, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
14	13	oveq2d 5939	. 2 |- ( ph -> ( X .+ ( N ` ( N ` Y ) ) ) = ( X .+ Y ) )
15	11, 14	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> ( X .- ( N ` Y ) ) = ( X .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   Basecbs 12688   +g cplusg 12765   Grpcgrp 13142   invgcminusg 13143   -gcsg 13144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1re 7975  ax-addrcl 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-inn 8993  df-2 9051  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-plusg 12778  df-0g 12939  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-grp 13145  df-minusg 13146  df-sbg 13147

This theorem is referenced by:  issubg4m  13333  isnsg3  13347  ablsub2inv  13451  ablsubsub4  13459