Theorem grpinvnzcl 13147

Description: The inverse of a nonzero group element is a nonzero group element. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvnzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvnzcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinvnzcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvnzcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem grpinvnzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3282	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		grpinvnzcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpinvnzcl.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
4	2, 3	grpinvcl 13123	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
5	1, 4	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
6		eldifsn 3746	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
7		grpinvnzcl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	2, 7, 3	grpinvnz 13146	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )
9	8	3expb 1206	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )
10	6, 9	sylan2b 287	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )
11		eldifsn 3746	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ≠ 0 ))
12	5, 10, 11	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   ∖ cdif 3151  {csn 3619  ‘cfv 5255  Basecbs 12621  0_gc0g 12870  Grpcgrp 13075  inv_gcminusg 13076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079

This theorem is referenced by: (None)