Theorem grpsubadd0sub 13159

Description: Subtraction expressed as addition of the difference of the identity element and the subtrahend. (Contributed by AV, 9-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubid.o	|- .0. = ( 0g ` G )
grpsubid.m	|- .- = ( -g ` G )
grpsubadd0sub.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubadd0sub	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( .0. .- Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubadd0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubid.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		grpsubadd0sub.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
3		eqid 2193	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
4		grpsubid.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13118	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
6	5	3adant1 1017	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
7		grpsubid.o	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
8	1, 4, 3, 7	grpinvval2 13155	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) = ( .0. .- Y ) )
9	8	3adant2 1018	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) = ( .0. .- Y ) )
10	9	oveq2d 5934	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = ( X .+ ( .0. .- Y ) ) )
11	6, 10	eqtrd 2226	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( .0. .- Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   0gc0g 12867   Grpcgrp 13072   invgcminusg 13073   -gcsg 13074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077

This theorem is referenced by: (None)