Theorem grpsubadd0sub 13361

Description: Subtraction expressed as addition of the difference of the identity element and the subtrahend. (Contributed by AV, 9-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpsubid.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
grpsubadd0sub.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubadd0sub	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ( 0 − 𝑌)))

Proof of Theorem grpsubadd0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubadd0sub.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubid.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13320	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
6	5	3adant1 1017	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
7		grpsubid.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	1, 4, 3, 7	grpinvval2 13357	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = ( 0 − 𝑌))
9	8	3adant2 1018	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = ( 0 − 𝑌))
10	9	oveq2d 5959	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = (𝑋 + ( 0 − 𝑌)))
11	6, 10	eqtrd 2237	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ( 0 − 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  Basecbs 12774  +_gcplusg 12851  0_gc0g 13030  Grpcgrp 13274  inv_gcminusg 13275  -_gcsg 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-inn 9036  df-2 9094  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-plusg 12864  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277  df-minusg 13278  df-sbg 13279

This theorem is referenced by: (None)