Theorem grpsubadd 13661

Description: Relationship between group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubadd	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Z .+ Y ) = X ) )

Proof of Theorem grpsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
2		grpsubadd.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
3		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
4		grpsubadd.m	. . . . . . 7 |- .- = ( -g ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13619	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
6	5	3adant3 1041	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
7	6	adantl 277	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
8	7	eqeq1d 2238	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
9		simpl 109	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
10		simpr1 1027	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
11	1, 3	grpinvcl 13621	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
12	11	3ad2antr2 1187	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
13	1, 2	grpcl 13581	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B )
14	9, 10, 12, 13	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B )
15		simpr3 1029	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
16		simpr2 1028	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
17	1, 2	grprcan 13610	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
18	9, 14, 15, 16, 17	syl13anc 1273	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
19	1, 2	grpass 13582	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) )
20	9, 10, 12, 16, 19	syl13anc 1273	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) )
21		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
22	1, 2, 21, 3	grplinv 13623	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
23	22	3ad2antr2 1187	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
24	23	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
25	1, 2, 21	grprid 13605	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
26	25	3ad2antr1 1186	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
27	20, 24, 26	3eqtrd 2266	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = X )
28	27	eqeq1d 2238	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> X = ( Z .+ Y ) ) )
29	8, 18, 28	3bitr2d 216	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> X = ( Z .+ Y ) ) )
30		eqcom 2231	. 2 |- ( X = ( Z .+ Y ) <-> ( Z .+ Y ) = X )
31	29, 30	bitrdi 196	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Z .+ Y ) = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   +g cplusg 13150   0gc0g 13329   Grpcgrp 13573   invgcminusg 13574   -gcsg 13575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-inn 9134  df-2 9192  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-sbg 13578

This theorem is referenced by:  grpsubsub4  13666  conjghm  13853  conjnmzb  13857  ablsubadd  13889  ablsubsub23  13902