Theorem grpsubadd 13163

Description: Relationship between group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubadd	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Z .+ Y ) = X ) )

Proof of Theorem grpsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
2		grpsubadd.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
3		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
4		grpsubadd.m	. . . . . . 7 |- .- = ( -g ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13121	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
6	5	3adant3 1019	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
7	6	adantl 277	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
8	7	eqeq1d 2202	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
9		simpl 109	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
10		simpr1 1005	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
11	1, 3	grpinvcl 13123	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
12	11	3ad2antr2 1165	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
13	1, 2	grpcl 13083	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B )
14	9, 10, 12, 13	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B )
15		simpr3 1007	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
16		simpr2 1006	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
17	1, 2	grprcan 13112	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
18	9, 14, 15, 16, 17	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
19	1, 2	grpass 13084	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) )
20	9, 10, 12, 16, 19	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) )
21		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
22	1, 2, 21, 3	grplinv 13125	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
23	22	3ad2antr2 1165	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
24	23	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
25	1, 2, 21	grprid 13107	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
26	25	3ad2antr1 1164	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
27	20, 24, 26	3eqtrd 2230	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = X )
28	27	eqeq1d 2202	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> X = ( Z .+ Y ) ) )
29	8, 18, 28	3bitr2d 216	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> X = ( Z .+ Y ) ) )
30		eqcom 2195	. 2 |- ( X = ( Z .+ Y ) <-> ( Z .+ Y ) = X )
31	29, 30	bitrdi 196	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Z .+ Y ) = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   0gc0g 12870   Grpcgrp 13075   invgcminusg 13076   -gcsg 13077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080

This theorem is referenced by:  grpsubsub4  13168  conjghm  13349  conjnmzb  13353  ablsubadd  13385  ablsubsub23  13398