Theorem grpsubadd 13032

Description: Relationship between group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubadd	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Z .+ Y ) = X ) )

Proof of Theorem grpsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
2		grpsubadd.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
3		eqid 2189	. . . . . . 7 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
4		grpsubadd.m	. . . . . . 7 |- .- = ( -g ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 12990	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
6	5	3adant3 1019	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
7	6	adantl 277	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
8	7	eqeq1d 2198	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
9		simpl 109	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
10		simpr1 1005	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
11	1, 3	grpinvcl 12992	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
12	11	3ad2antr2 1165	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
13	1, 2	grpcl 12953	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B )
14	9, 10, 12, 13	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B )
15		simpr3 1007	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
16		simpr2 1006	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
17	1, 2	grprcan 12981	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
18	9, 14, 15, 16, 17	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
19	1, 2	grpass 12954	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) )
20	9, 10, 12, 16, 19	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) )
21		eqid 2189	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
22	1, 2, 21, 3	grplinv 12994	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
23	22	3ad2antr2 1165	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
24	23	oveq2d 5912	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
25	1, 2, 21	grprid 12976	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
26	25	3ad2antr1 1164	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
27	20, 24, 26	3eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = X )
28	27	eqeq1d 2198	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> X = ( Z .+ Y ) ) )
29	8, 18, 28	3bitr2d 216	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> X = ( Z .+ Y ) ) )
30		eqcom 2191	. 2 |- ( X = ( Z .+ Y ) <-> ( Z .+ Y ) = X )
31	29, 30	bitrdi 196	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Z .+ Y ) = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   Basecbs 12512   +g cplusg 12589   0gc0g 12761   Grpcgrp 12945   invgcminusg 12946   -gcsg 12947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1re 7935  ax-addrcl 7938

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-inn 8950  df-2 9008  df-ndx 12515  df-slot 12516  df-base 12518  df-plusg 12602  df-0g 12763  df-mgm 12832  df-sgrp 12865  df-mnd 12878  df-grp 12948  df-minusg 12949  df-sbg 12950

This theorem is referenced by:  grpsubsub4  13037  conjghm  13215  conjnmzb  13219  ablsubadd  13251  ablsubsub23  13264