Theorem grpsubeq0 13868

Description: If the difference between two group elements is zero, they are equal. (subeq0 8542 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubid.o	|- .0. = ( 0g ` G )
grpsubid.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubeq0	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) = .0. <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grpsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubid.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2238	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
4		grpsubid.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13828	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
6	5	3adant1 1046	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
7	6	eqeq1d 2247	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) = .0. <-> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = .0. ) )
8		simp1 1028	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
9	1, 3	grpinvcl 13830	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
10	9	3adant2 1047	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
11		simp2 1029	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
12		grpsubid.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
13	1, 2, 12, 3	grpinvid2 13835	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = X <-> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = .0. ) )
14	8, 10, 11, 13	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = X <-> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = .0. ) )
15	1, 3	grpinvinv 13849	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Y )
16	15	3adant2 1047	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Y )
17	16	eqeq1d 2247	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = X <-> Y = X ) )
18		eqcom 2240	. . 3 |- ( Y = X <-> X = Y )
19	17, 18	bitrdi 196	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = X <-> X = Y ) )
20	7, 14, 19	3bitr2d 216	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) = .0. <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   0gc0g 13587   Grpcgrp 13782   invgcminusg 13783   -gcsg 13784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-sbg 13787

This theorem is referenced by:  ghmeqker  14051  ghmf1  14053  kerf1ghm  14054  lmodsubeq0  14655