Theorem grpsubeq0 13614

Description: If the difference between two group elements is zero, they are equal. (subeq0 8368 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubid.o	|- .0. = ( 0g ` G )
grpsubid.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubeq0	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) = .0. <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grpsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubid.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2229	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2229	. . . . 5 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
4		grpsubid.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13574	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
6	5	3adant1 1039	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
7	6	eqeq1d 2238	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) = .0. <-> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = .0. ) )
8		simp1 1021	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
9	1, 3	grpinvcl 13576	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
10	9	3adant2 1040	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
11		simp2 1022	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
12		grpsubid.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
13	1, 2, 12, 3	grpinvid2 13581	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = X <-> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = .0. ) )
14	8, 10, 11, 13	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = X <-> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = .0. ) )
15	1, 3	grpinvinv 13595	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Y )
16	15	3adant2 1040	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Y )
17	16	eqeq1d 2238	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = X <-> Y = X ) )
18		eqcom 2231	. . 3 |- ( Y = X <-> X = Y )
19	17, 18	bitrdi 196	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = X <-> X = Y ) )
20	7, 14, 19	3bitr2d 216	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) = .0. <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   0gc0g 13284   Grpcgrp 13528   invgcminusg 13529   -gcsg 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-inn 9107  df-2 9165  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-sbg 13533

This theorem is referenced by:  ghmeqker  13803  ghmf1  13805  kerf1ghm  13806  lmodsubeq0  14304