Theorem grpinvval2 13671

Description: A df-neg 8353-like equation for inverse in terms of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )
grpinvsub.n	|- N = ( invg ` G )
grpinvval2.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvval2	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) = ( .0. .- X ) )

Proof of Theorem grpinvval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvval2.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
3	1, 2	grpidcl 13617	. . 3 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )
4		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
5		grpinvsub.n	. . . 4 |- N = ( invg ` G )
6		grpsubcl.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
7	1, 4, 5, 6	grpsubval 13634	. . 3 |- ( ( .0. e. B /\ X e. B ) -> ( .0. .- X ) = ( .0. ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
8	3, 7	sylan 283	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( .0. .- X ) = ( .0. ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
9	1, 5	grpinvcl 13636	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
10	1, 4, 2	grplid 13619	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( .0. ( +g ` G ) ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
11	9, 10	syldan 282	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( .0. ( +g ` G ) ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
12	8, 11	eqtr2d 2265	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) = ( .0. .- X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13087   +g cplusg 13165   0gc0g 13344   Grpcgrp 13588   invgcminusg 13589   -gcsg 13590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-plusg 13178  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-minusg 13592  df-sbg 13593

This theorem is referenced by:  grpsubadd0sub  13675