Theorem grpinvval2 13459

Description: A df-neg 8253-like equation for inverse in terms of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )
grpinvsub.n	|- N = ( invg ` G )
grpinvval2.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvval2	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) = ( .0. .- X ) )

Proof of Theorem grpinvval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvval2.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
3	1, 2	grpidcl 13405	. . 3 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )
4		eqid 2206	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
5		grpinvsub.n	. . . 4 |- N = ( invg ` G )
6		grpsubcl.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
7	1, 4, 5, 6	grpsubval 13422	. . 3 |- ( ( .0. e. B /\ X e. B ) -> ( .0. .- X ) = ( .0. ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
8	3, 7	sylan 283	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( .0. .- X ) = ( .0. ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
9	1, 5	grpinvcl 13424	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
10	1, 4, 2	grplid 13407	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( .0. ( +g ` G ) ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
11	9, 10	syldan 282	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( .0. ( +g ` G ) ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
12	8, 11	eqtr2d 2240	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) = ( .0. .- X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   Basecbs 12876   +g cplusg 12953   0gc0g 13132   Grpcgrp 13376   invgcminusg 13377   -gcsg 13378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1re 8026  ax-addrcl 8029

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-inn 9044  df-2 9102  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-sbg 13381

This theorem is referenced by:  grpsubadd0sub  13463