Theorem gsumvallem2 13135

Description: Lemma for properties of the set of identities of G. The set of identities of a monoid is exactly the unique identity element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvallem2.b	|- B = ( Base ` G )
gsumvallem2.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumvallem2.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsumvallem2.o	|- O = { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) }

Assertion

Ref	Expression
gsumvallem2	|- ( G e. Mnd -> O = { .0. } )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, G, y   x, .+ , y   x, .0. , y

Allowed substitution hints:   O( x, y)

Proof of Theorem gsumvallem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvallem2.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		gsumvallem2.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsumvallem2.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4		gsumvallem2.o	. . 3 |- O = { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) }
5	1, 2, 3, 4	mgmidsssn0 13037	. 2 |- ( G e. Mnd -> O C_ { .0. } )
6	1, 2	mndidcl 13081	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
7	1, 3, 2	mndlrid 13085	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. B ) -> ( ( .0. .+ y ) = y /\ ( y .+ .0. ) = y ) )
8	7	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> A. y e. B ( ( .0. .+ y ) = y /\ ( y .+ .0. ) = y ) )
9		oveq1 5930	. . . . . . 7 |- ( x = .0. -> ( x .+ y ) = ( .0. .+ y ) )
10	9	eqeq1d 2205	. . . . . 6 |- ( x = .0. -> ( ( x .+ y ) = y <-> ( .0. .+ y ) = y ) )
11	10	ovanraleqv 5947	. . . . 5 |- ( x = .0. -> ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) <-> A. y e. B ( ( .0. .+ y ) = y /\ ( y .+ .0. ) = y ) ) )
12	11, 4	elrab2 2923	. . . 4 |- ( .0. e. O <-> ( .0. e. B /\ A. y e. B ( ( .0. .+ y ) = y /\ ( y .+ .0. ) = y ) ) )
13	6, 8, 12	sylanbrc 417	. . 3 |- ( G e. Mnd -> .0. e. O )
14	13	snssd 3768	. 2 |- ( G e. Mnd -> { .0. } C_ O )
15	5, 14	eqssd 3201	1 |- ( G e. Mnd -> O = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   {csn 3623   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   Basecbs 12688   +g cplusg 12765   0gc0g 12937   Mndcmnd 13067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1re 7975  ax-addrcl 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-inn 8993  df-2 9051  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-plusg 12778  df-0g 12939  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068

This theorem is referenced by: (None)