Theorem gsumsubm 13640

Description: Evaluate a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubm.a	|- ( ph -> A e. V )
gsumsubm.s	|- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
gsumsubm.f	|- ( ph -> F : A --> S )
gsumsubm.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
gsumsubm	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( H gsumg F ) )

Proof of Theorem gsumsubm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2231	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		gsumsubm.h	. 2 |- H = ( G ↾s S )
4		gsumsubm.s	. . 3 |- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
5		submrcl 13617	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> G e. Mnd )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> G e. Mnd )
7		gsumsubm.a	. 2 |- ( ph -> A e. V )
8	1	submss 13622	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
9	4, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> S C_ ( Base ` G ) )
10		gsumsubm.f	. 2 |- ( ph -> F : A --> S )
11		eqid 2231	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
12	11	subm0cl 13624	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
13	4, 12	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. S )
14	1, 2, 11	mndlrid 13580	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x ) )
15	6, 14	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x ) )
16	1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15	gsumress 13541	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( H gsumg F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   C_ wss 3201   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   ↾_s cress 13146   +g cplusg 13223   0gc0g 13402   gsum_g cgsu 13403   Mndcmnd 13562  SubMndcsubmnd 13604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-z 9524  df-uz 9800  df-seqfrec 10756  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-plusg 13236  df-0g 13404  df-igsum 13405  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-submnd 13606

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15875