Theorem gsumsubm 13707

Description: Evaluate a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubm.a	|- ( ph -> A e. V )
gsumsubm.s	|- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
gsumsubm.f	|- ( ph -> F : A --> S )
gsumsubm.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
gsumsubm	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( H gsumg F ) )

Proof of Theorem gsumsubm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2232	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		gsumsubm.h	. 2 |- H = ( G ↾s S )
4		gsumsubm.s	. . 3 |- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
5		submrcl 13684	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> G e. Mnd )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> G e. Mnd )
7		gsumsubm.a	. 2 |- ( ph -> A e. V )
8	1	submss 13689	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
9	4, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> S C_ ( Base ` G ) )
10		gsumsubm.f	. 2 |- ( ph -> F : A --> S )
11		eqid 2232	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
12	11	subm0cl 13691	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
13	4, 12	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. S )
14	1, 2, 11	mndlrid 13647	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x ) )
15	6, 14	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x ) )
16	1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15	gsumress 13608	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( H gsumg F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   C_ wss 3211   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   ↾_s cress 13213   +g cplusg 13290   0gc0g 13469   gsum_g cgsu 13470   Mndcmnd 13629  SubMndcsubmnd 13671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-z 9578  df-uz 9854  df-seqfrec 10810  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-igsum 13472  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-submnd 13673

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15946