Theorem gsumsubm 13396

Description: Evaluate a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubm.a	|- ( ph -> A e. V )
gsumsubm.s	|- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
gsumsubm.f	|- ( ph -> F : A --> S )
gsumsubm.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
gsumsubm	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( H gsumg F ) )

Proof of Theorem gsumsubm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2206	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		gsumsubm.h	. 2 |- H = ( G ↾s S )
4		gsumsubm.s	. . 3 |- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
5		submrcl 13373	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> G e. Mnd )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> G e. Mnd )
7		gsumsubm.a	. 2 |- ( ph -> A e. V )
8	1	submss 13378	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
9	4, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> S C_ ( Base ` G ) )
10		gsumsubm.f	. 2 |- ( ph -> F : A --> S )
11		eqid 2206	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
12	11	subm0cl 13380	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
13	4, 12	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. S )
14	1, 2, 11	mndlrid 13336	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x ) )
15	6, 14	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x ) )
16	1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15	gsumress 13297	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( H gsumg F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   C_ wss 3170   -->wf 5275   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   Basecbs 12902   ↾_s cress 12903   +g cplusg 12979   0gc0g 13158   gsum_g cgsu 13159   Mndcmnd 13318  SubMndcsubmnd 13360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-recs 6403  df-frec 6489  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-ltxr 8127  df-neg 8261  df-inn 9052  df-2 9110  df-z 9388  df-uz 9664  df-seqfrec 10610  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-sets 12909  df-iress 12910  df-plusg 12992  df-0g 13160  df-igsum 13161  df-mgm 13258  df-sgrp 13304  df-mnd 13319  df-submnd 13362

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15620