Theorem gsumsubm 13749

Description: Evaluate a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubm.a	|- ( ph -> A e. V )
gsumsubm.s	|- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
gsumsubm.f	|- ( ph -> F : A --> S )
gsumsubm.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
gsumsubm	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( H gsumg F ) )

Proof of Theorem gsumsubm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2234	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		gsumsubm.h	. 2 |- H = ( G ↾s S )
4		gsumsubm.s	. . 3 |- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
5		submrcl 13726	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> G e. Mnd )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> G e. Mnd )
7		gsumsubm.a	. 2 |- ( ph -> A e. V )
8	1	submss 13731	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
9	4, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> S C_ ( Base ` G ) )
10		gsumsubm.f	. 2 |- ( ph -> F : A --> S )
11		eqid 2234	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
12	11	subm0cl 13733	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
13	4, 12	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. S )
14	1, 2, 11	mndlrid 13695	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x ) )
15	6, 14	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x ) )
16	1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15	gsumress 13658	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( H gsumg F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3214   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   ↾_s cress 13297   +g cplusg 13374   0gc0g 13553   gsum_g cgsu 13554   Mndcmnd 13677  SubMndcsubmnd 13713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-igsum 13556  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-submnd 13715

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  16072