Theorem gsumsubm 13056

Description: Evaluate a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubm.a	|- ( ph -> A e. V )
gsumsubm.s	|- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
gsumsubm.f	|- ( ph -> F : A --> S )
gsumsubm.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
gsumsubm	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( H gsumg F ) )

Proof of Theorem gsumsubm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2193	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		gsumsubm.h	. 2 |- H = ( G ↾s S )
4		gsumsubm.s	. . 3 |- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
5		submrcl 13033	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> G e. Mnd )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> G e. Mnd )
7		gsumsubm.a	. 2 |- ( ph -> A e. V )
8	1	submss 13038	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
9	4, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> S C_ ( Base ` G ) )
10		gsumsubm.f	. 2 |- ( ph -> F : A --> S )
11		eqid 2193	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
12	11	subm0cl 13040	. . 3 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
13	4, 12	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. S )
14	1, 2, 11	mndlrid 13005	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x ) )
15	6, 14	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) x ) = x /\ ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x ) )
16	1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15	gsumress 12968	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( H gsumg F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3153   -->wf 5242   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   Basecbs 12608   ↾_s cress 12609   +g cplusg 12685   0gc0g 12857   gsum_g cgsu 12858   Mndcmnd 12987  SubMndcsubmnd 13020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-recs 6349  df-frec 6435  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-ltxr 8049  df-neg 8183  df-inn 8973  df-2 9031  df-z 9308  df-uz 9583  df-seqfrec 10509  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-sets 12615  df-iress 12616  df-plusg 12698  df-0g 12859  df-igsum 12860  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-submnd 13022

This theorem is referenced by: (None)