Theorem hashdmprop2dom 11061

Description: A class which contains two ordered pairs with different first components has at least two elements. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashdmpropge2.a	|- ( ph -> A e. V )
hashdmpropge2.b	|- ( ph -> B e. W )
hashdmpropge2.c	|- ( ph -> C e. X )
hashdmpropge2.d	|- ( ph -> D e. Y )
hashdmpropge2.f	|- ( ph -> F e. Z )
hashdmpropge2.n	|- ( ph -> A =/= B )
hashdmpropge2.s	|- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ F )

Assertion

Ref	Expression
hashdmprop2dom	|- ( ph -> 2o ~<_ dom F )

Proof of Theorem hashdmprop2dom

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashdmpropge2.f	. . 3 |- ( ph -> F e. Z )
2	1	dmexd 4989	. 2 |- ( ph -> dom F e. _V )
3		hashdmpropge2.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. X )
4		hashdmpropge2.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. Y )
5		dmpropg 5200	. . . . . . 7 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } )
7		hashdmpropge2.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ F )
8		dmss 4921	. . . . . . 7 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ F -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ dom F )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ dom F )
10	6, 9	eqsstrrd 3261	. . . . 5 |- ( ph -> { A , B } C_ dom F )
11		hashdmpropge2.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
12		hashdmpropge2.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. W )
13		prssg 3824	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( A e. dom F /\ B e. dom F ) <-> { A , B } C_ dom F ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A e. dom F /\ B e. dom F ) <-> { A , B } C_ dom F ) )
15	10, 14	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. dom F /\ B e. dom F ) )
16	15	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> A e. dom F )
17	15	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> B e. dom F )
18		hashdmpropge2.n	. . 3 |- ( ph -> A =/= B )
19		neeq1 2413	. . . 4 |- ( a = A -> ( a =/= b <-> A =/= b ) )
20		neeq2 2414	. . . 4 |- ( b = B -> ( A =/= b <-> A =/= B ) )
21	19, 20	rspc2ev 2922	. . 3 |- ( ( A e. dom F /\ B e. dom F /\ A =/= B ) -> E. a e. dom F E. b e. dom F a =/= b )
22	16, 17, 18, 21	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> E. a e. dom F E. b e. dom F a =/= b )
23		rex2dom 6969	. 2 |- ( ( dom F e. _V /\ E. a e. dom F E. b e. dom F a =/= b ) -> 2o ~<_ dom F )
24	2, 22, 23	syl2anc 411	1 |- ( ph -> 2o ~<_ dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   {cpr 3667   <.cop 3669   class class class wbr 4082   dom cdm 4718   2oc2o 6554   ~<_ cdom 6884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-1o 6560  df-2o 6561  df-en 6886  df-dom 6887

This theorem is referenced by:  struct2slots2dom  15833  structgr2slots2dom  15836