Theorem hashdmprop2dom 11154

Description: A class which contains two ordered pairs with different first components has at least two elements. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashdmpropge2.a	|- ( ph -> A e. V )
hashdmpropge2.b	|- ( ph -> B e. W )
hashdmpropge2.c	|- ( ph -> C e. X )
hashdmpropge2.d	|- ( ph -> D e. Y )
hashdmpropge2.f	|- ( ph -> F e. Z )
hashdmpropge2.n	|- ( ph -> A =/= B )
hashdmpropge2.s	|- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ F )

Assertion

Ref	Expression
hashdmprop2dom	|- ( ph -> 2o ~<_ dom F )

Proof of Theorem hashdmprop2dom

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashdmpropge2.f	. . 3 |- ( ph -> F e. Z )
2	1	dmexd 5004	. 2 |- ( ph -> dom F e. _V )
3		hashdmpropge2.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. X )
4		hashdmpropge2.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. Y )
5		dmpropg 5216	. . . . . . 7 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } )
7		hashdmpropge2.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ F )
8		dmss 4936	. . . . . . 7 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ F -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ dom F )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ dom F )
10	6, 9	eqsstrrd 3265	. . . . 5 |- ( ph -> { A , B } C_ dom F )
11		hashdmpropge2.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
12		hashdmpropge2.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. W )
13		prssg 3835	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( A e. dom F /\ B e. dom F ) <-> { A , B } C_ dom F ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A e. dom F /\ B e. dom F ) <-> { A , B } C_ dom F ) )
15	10, 14	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. dom F /\ B e. dom F ) )
16	15	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> A e. dom F )
17	15	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> B e. dom F )
18		hashdmpropge2.n	. . 3 |- ( ph -> A =/= B )
19		neeq1 2416	. . . 4 |- ( a = A -> ( a =/= b <-> A =/= b ) )
20		neeq2 2417	. . . 4 |- ( b = B -> ( A =/= b <-> A =/= B ) )
21	19, 20	rspc2ev 2926	. . 3 |- ( ( A e. dom F /\ B e. dom F /\ A =/= B ) -> E. a e. dom F E. b e. dom F a =/= b )
22	16, 17, 18, 21	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> E. a e. dom F E. b e. dom F a =/= b )
23		rex2dom 7039	. 2 |- ( ( dom F e. _V /\ E. a e. dom F E. b e. dom F a =/= b ) -> 2o ~<_ dom F )
24	2, 22, 23	syl2anc 411	1 |- ( ph -> 2o ~<_ dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   {cpr 3674   <.cop 3676   class class class wbr 4093   dom cdm 4731   2oc2o 6619   ~<_ cdom 6951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-1o 6625  df-2o 6626  df-en 6953  df-dom 6954

This theorem is referenced by:  struct2slots2dom  15962  structgr2slots2dom  15965