Theorem hashdmprop2dom 11274

Description: A class which contains two ordered pairs with different first components has at least two elements. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashdmpropge2.a	|- ( ph -> A e. V )
hashdmpropge2.b	|- ( ph -> B e. W )
hashdmpropge2.c	|- ( ph -> C e. X )
hashdmpropge2.d	|- ( ph -> D e. Y )
hashdmpropge2.f	|- ( ph -> F e. Z )
hashdmpropge2.n	|- ( ph -> A =/= B )
hashdmpropge2.s	|- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ F )

Assertion

Ref	Expression
hashdmprop2dom	|- ( ph -> 2o ~<_ dom F )

Proof of Theorem hashdmprop2dom

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashdmpropge2.f	. . 3 |- ( ph -> F e. Z )
2	1	dmexd 5043	. 2 |- ( ph -> dom F e. _V )
3		hashdmpropge2.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. X )
4		hashdmpropge2.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. Y )
5		dmpropg 5255	. . . . . . 7 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } )
6	3, 4, 5	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } )
7		hashdmpropge2.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ F )
8		dmss 4975	. . . . . . 7 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ F -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ dom F )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ dom F )
10	6, 9	eqsstrrd 3285	. . . . 5 |- ( ph -> { A , B } C_ dom F )
11		hashdmpropge2.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
12		hashdmpropge2.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. W )
13		prssg 3867	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( A e. dom F /\ B e. dom F ) <-> { A , B } C_ dom F ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A e. dom F /\ B e. dom F ) <-> { A , B } C_ dom F ) )
15	10, 14	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. dom F /\ B e. dom F ) )
16	15	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> A e. dom F )
17	15	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> B e. dom F )
18		hashdmpropge2.n	. . 3 |- ( ph -> A =/= B )
19		neeq1 2433	. . . 4 |- ( a = A -> ( a =/= b <-> A =/= b ) )
20		neeq2 2434	. . . 4 |- ( b = B -> ( A =/= b <-> A =/= B ) )
21	19, 20	rspc2ev 2945	. . 3 |- ( ( A e. dom F /\ B e. dom F /\ A =/= B ) -> E. a e. dom F E. b e. dom F a =/= b )
22	16, 17, 18, 21	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> E. a e. dom F E. b e. dom F a =/= b )
23		rex2dom 7100	. 2 |- ( ( dom F e. _V /\ E. a e. dom F E. b e. dom F a =/= b ) -> 2o ~<_ dom F )
24	2, 22, 23	syl2anc 415	1 |- ( ph -> 2o ~<_ dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {cpr 3706   <.cop 3708   class class class wbr 4125   dom cdm 4769   2oc2o 6671   ~<_ cdom 7011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-1o 6677  df-2o 6678  df-en 7013  df-dom 7014

This theorem is referenced by:  struct2slots2dom  16193  structgr2slots2dom  16196