Theorem hashdmprop2dom 11107

Description: A class which contains two ordered pairs with different first components has at least two elements. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashdmpropge2.a	|- ( ph -> A e. V )
hashdmpropge2.b	|- ( ph -> B e. W )
hashdmpropge2.c	|- ( ph -> C e. X )
hashdmpropge2.d	|- ( ph -> D e. Y )
hashdmpropge2.f	|- ( ph -> F e. Z )
hashdmpropge2.n	|- ( ph -> A =/= B )
hashdmpropge2.s	|- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ F )

Assertion

Ref	Expression
hashdmprop2dom	|- ( ph -> 2o ~<_ dom F )

Proof of Theorem hashdmprop2dom

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashdmpropge2.f	. . 3 |- ( ph -> F e. Z )
2	1	dmexd 4998	. 2 |- ( ph -> dom F e. _V )
3		hashdmpropge2.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. X )
4		hashdmpropge2.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. Y )
5		dmpropg 5209	. . . . . . 7 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } )
7		hashdmpropge2.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ F )
8		dmss 4930	. . . . . . 7 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ F -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ dom F )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ dom F )
10	6, 9	eqsstrrd 3264	. . . . 5 |- ( ph -> { A , B } C_ dom F )
11		hashdmpropge2.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
12		hashdmpropge2.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. W )
13		prssg 3830	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( A e. dom F /\ B e. dom F ) <-> { A , B } C_ dom F ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A e. dom F /\ B e. dom F ) <-> { A , B } C_ dom F ) )
15	10, 14	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. dom F /\ B e. dom F ) )
16	15	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> A e. dom F )
17	15	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> B e. dom F )
18		hashdmpropge2.n	. . 3 |- ( ph -> A =/= B )
19		neeq1 2415	. . . 4 |- ( a = A -> ( a =/= b <-> A =/= b ) )
20		neeq2 2416	. . . 4 |- ( b = B -> ( A =/= b <-> A =/= B ) )
21	19, 20	rspc2ev 2925	. . 3 |- ( ( A e. dom F /\ B e. dom F /\ A =/= B ) -> E. a e. dom F E. b e. dom F a =/= b )
22	16, 17, 18, 21	syl3anc 1273	. 2 |- ( ph -> E. a e. dom F E. b e. dom F a =/= b )
23		rex2dom 6995	. 2 |- ( ( dom F e. _V /\ E. a e. dom F E. b e. dom F a =/= b ) -> 2o ~<_ dom F )
24	2, 22, 23	syl2anc 411	1 |- ( ph -> 2o ~<_ dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   {cpr 3670   <.cop 3672   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   2oc2o 6575   ~<_ cdom 6907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-1o 6581  df-2o 6582  df-en 6909  df-dom 6910

This theorem is referenced by:  struct2slots2dom  15888  structgr2slots2dom  15891