Theorem rspc2ev 2858

Description: 2-variable restricted existential specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2ev	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ ps ) -> E. x e. C E. y e. D ph )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2ev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspc2v.2	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
2	1	rspcev 2843	. . . 4 |- ( ( B e. D /\ ps ) -> E. y e. D ch )
3	2	anim2i 342	. . 3 |- ( ( A e. C /\ ( B e. D /\ ps ) ) -> ( A e. C /\ E. y e. D ch ) )
4	3	3impb 1199	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ ps ) -> ( A e. C /\ E. y e. D ch ) )
5		rspc2v.1	. . . 4 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
6	5	rexbidv 2478	. . 3 |- ( x = A -> ( E. y e. D ph <-> E. y e. D ch ) )
7	6	rspcev 2843	. 2 |- ( ( A e. C /\ E. y e. D ch ) -> E. x e. C E. y e. D ph )
8	4, 7	syl 14	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ ps ) -> E. x e. C E. y e. D ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2741

This theorem is referenced by:  rspc3ev  2860  opelxp  4658  rspceov  5919  2dom  6807  apreim  8562  addcn2  11320  mulcn2  11322  divalglemnn  11925  bezoutlema  12002  bezoutlemb  12003  pythagtriplem18  12283  pczpre  12299  pcdiv  12304  4sqlem3  12390  4sqlem4  12392  txuni2  13795  txopn  13804  txdis  13816  txdis1cn  13817  xmettxlem  14048  2irrexpq  14433  2irrexpqap  14435  2sqlem2  14501  2sqlem8  14509