Theorem rspc2ev 2883

Description: 2-variable restricted existential specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2ev	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ ps ) -> E. x e. C E. y e. D ph )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2ev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspc2v.2	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
2	1	rspcev 2868	. . . 4 |- ( ( B e. D /\ ps ) -> E. y e. D ch )
3	2	anim2i 342	. . 3 |- ( ( A e. C /\ ( B e. D /\ ps ) ) -> ( A e. C /\ E. y e. D ch ) )
4	3	3impb 1201	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ ps ) -> ( A e. C /\ E. y e. D ch ) )
5		rspc2v.1	. . . 4 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
6	5	rexbidv 2498	. . 3 |- ( x = A -> ( E. y e. D ph <-> E. y e. D ch ) )
7	6	rspcev 2868	. 2 |- ( ( A e. C /\ E. y e. D ch ) -> E. x e. C E. y e. D ph )
8	4, 7	syl 14	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ ps ) -> E. x e. C E. y e. D ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765

This theorem is referenced by:  rspc3ev  2885  opelxp  4694  rspceov  5968  2dom  6873  apreim  8649  addcn2  11494  mulcn2  11496  divalglemnn  12102  bezoutlema  12193  bezoutlemb  12194  pythagtriplem18  12477  pczpre  12493  pcdiv  12498  4sqlem3  12586  4sqlem4  12588  4sqlem12  12598  isnzr2  13818  txuni2  14578  txopn  14587  txdis  14599  txdis1cn  14600  xmettxlem  14831  elplyr  15062  2irrexpq  15298  2irrexpqap  15300  2sqlem2  15442  2sqlem8  15450