Theorem rspc2ev 2945

Description: 2-variable restricted existential specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2ev	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ ps ) -> E. x e. C E. y e. D ph )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2ev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspc2v.2	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
2	1	rspcev 2929	. . . 4 |- ( ( B e. D /\ ps ) -> E. y e. D ch )
3	2	anim2i 342	. . 3 |- ( ( A e. C /\ ( B e. D /\ ps ) ) -> ( A e. C /\ E. y e. D ch ) )
4	3	3impb 1230	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ ps ) -> ( A e. C /\ E. y e. D ch ) )
5		rspc2v.1	. . . 4 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
6	5	rexbidv 2551	. . 3 |- ( x = A -> ( E. y e. D ph <-> E. y e. D ch ) )
7	6	rspcev 2929	. 2 |- ( ( A e. C /\ E. y e. D ch ) -> E. x e. C E. y e. D ph )
8	4, 7	syl 14	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ ps ) -> E. x e. C E. y e. D ph )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823

This theorem is used by:  rspc3ev  2947  opelxp  4804  rspceov  6128  2dom  7093  apreim  8932  hashdmprop2dom  11298  fun2dmnop0  11304  addcn2  12078  mulcn2  12080  divalglemnn  12687  bezoutlema  12778  bezoutlemb  12779  pythagtriplem18  13062  pczpre  13078  pcdiv  13083  4sqlem3  13171  4sqlem4  13173  4sqlem12  13183  isnzr2  14493  txuni2  15359  txopn  15368  txdis  15380  txdis1cn  15381  xmettxlem  15612  elplyr  15843  2irrexpq  16084  2irrexpqap  16086  2sqlem2  16246  2sqlem8  16254  umgrvad2edg  16464