Theorem struct2slots2dom 16484

Description: There are at least two elements in an extensible structure with a base set and another slot. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	|- S e. NN
structvtxvallem.b	|- ( Base ` ndx ) < S
structvtxvallem.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. }

Assertion

Ref	Expression
struct2slots2dom	|- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> 2o ~<_ dom G )

Proof of Theorem struct2slots2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 13466	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) e. NN
2	1	elexi 2834	. . 3 |- ( Base ` ndx ) e. _V
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> ( Base ` ndx ) e. _V )
4		structvtxvallem.s	. . 3 |- S e. NN
5	4	a1i 9	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> S e. NN )
6		simpl 109	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> V e. X )
7		simpr 110	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> E e. Y )
8		structvtxvallem.g	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. }
9		opexg 4370	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ V e. X ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
10	1, 6, 9	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
11		opexg 4370	. . . . 5 |- ( ( S e. NN /\ E e. Y ) -> <. S , E >. e. _V )
12	4, 7, 11	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. S , E >. e. _V )
13		prexg 4351	. . . 4 |- ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V /\ <. S , E >. e. _V ) -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } e. _V )
14	10, 12, 13	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } e. _V )
15	8, 14	eqeltrid 2325	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> G e. _V )
16	1	nnrei 9322	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) e. RR
17		structvtxvallem.b	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) < S
18	16, 17	ltneii 8429	. . 3 |- ( Base ` ndx ) =/= S
19	18	a1i 9	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> ( Base ` ndx ) =/= S )
20	8	eqimss2i 3305	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } C_ G
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } C_ G )
22	3, 5, 6, 7, 15, 19, 21	hashdmprop2dom 11318	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> 2o ~<_ dom G )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {cpr 3710   <.cop 3712   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   ` cfv 5380   2oc2o 6685   ~<_ cdom 7025   < clt 8366   NNcn 9313   ndxcnx 13407   Basecbs 13410

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-pre-ltirr 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1o 6691  df-2o 6692  df-en 7027  df-dom 7028  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416

This theorem is used by:  structvtxval  16485  structiedg0val  16486