Theorem struct2slots2dom 15854

Description: There are at least two elements in an extensible structure with a base set and another slot. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	|- S e. NN
structvtxvallem.b	|- ( Base ` ndx ) < S
structvtxvallem.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. }

Assertion

Ref	Expression
struct2slots2dom	|- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> 2o ~<_ dom G )

Proof of Theorem struct2slots2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 13103	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) e. NN
2	1	elexi 2812	. . 3 |- ( Base ` ndx ) e. _V
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> ( Base ` ndx ) e. _V )
4		structvtxvallem.s	. . 3 |- S e. NN
5	4	a1i 9	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> S e. NN )
6		simpl 109	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> V e. X )
7		simpr 110	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> E e. Y )
8		structvtxvallem.g	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. }
9		opexg 4314	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ V e. X ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
10	1, 6, 9	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
11		opexg 4314	. . . . 5 |- ( ( S e. NN /\ E e. Y ) -> <. S , E >. e. _V )
12	4, 7, 11	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. S , E >. e. _V )
13		prexg 4295	. . . 4 |- ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V /\ <. S , E >. e. _V ) -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } e. _V )
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } e. _V )
15	8, 14	eqeltrid 2316	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> G e. _V )
16	1	nnrei 9130	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) e. RR
17		structvtxvallem.b	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) < S
18	16, 17	ltneii 8254	. . 3 |- ( Base ` ndx ) =/= S
19	18	a1i 9	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> ( Base ` ndx ) =/= S )
20	8	eqimss2i 3281	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } C_ G
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } C_ G )
22	3, 5, 6, 7, 15, 19, 21	hashdmprop2dom 11079	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> 2o ~<_ dom G )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   {cpr 3667   <.cop 3669   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   ` cfv 5318   2oc2o 6562   ~<_ cdom 6894   < clt 8192   NNcn 9121   ndxcnx 13044   Basecbs 13047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107  ax-pre-ltirr 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1o 6568  df-2o 6569  df-en 6896  df-dom 6897  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053

This theorem is referenced by:  structvtxval  15855  structiedg0val  15856