Theorem struct2slots2dom 16193

Description: There are at least two elements in an extensible structure with a base set and another slot. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	|- S e. NN
structvtxvallem.b	|- ( Base ` ndx ) < S
structvtxvallem.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. }

Assertion

Ref	Expression
struct2slots2dom	|- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> 2o ~<_ dom G )

Proof of Theorem struct2slots2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 13386	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) e. NN
2	1	elexi 2834	. . 3 |- ( Base ` ndx ) e. _V
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> ( Base ` ndx ) e. _V )
4		structvtxvallem.s	. . 3 |- S e. NN
5	4	a1i 9	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> S e. NN )
6		simpl 109	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> V e. X )
7		simpr 110	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> E e. Y )
8		structvtxvallem.g	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. }
9		opexg 4363	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ V e. X ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
10	1, 6, 9	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
11		opexg 4363	. . . . 5 |- ( ( S e. NN /\ E e. Y ) -> <. S , E >. e. _V )
12	4, 7, 11	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. S , E >. e. _V )
13		prexg 4344	. . . 4 |- ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V /\ <. S , E >. e. _V ) -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } e. _V )
14	10, 12, 13	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } e. _V )
15	8, 14	eqeltrid 2325	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> G e. _V )
16	1	nnrei 9292	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) e. RR
17		structvtxvallem.b	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) < S
18	16, 17	ltneii 8412	. . 3 |- ( Base ` ndx ) =/= S
19	18	a1i 9	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> ( Base ` ndx ) =/= S )
20	8	eqimss2i 3305	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } C_ G
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } C_ G )
22	3, 5, 6, 7, 15, 19, 21	hashdmprop2dom 11274	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> 2o ~<_ dom G )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {cpr 3706   <.cop 3708   class class class wbr 4125   dom cdm 4769   ` cfv 5372   2oc2o 6671   ~<_ cdom 7011   < clt 8350   NNcn 9283   ndxcnx 13327   Basecbs 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266  ax-pre-ltirr 8281

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-2o 6678  df-en 7013  df-dom 7014  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336

This theorem is referenced by:  structvtxval  16194  structiedg0val  16195