Theorem hashinfuni 10020

Description: The ordinal size of an infinite set is ω. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashinfuni	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} = ω)

Distinct variable group:   𝑦,𝐴

Proof of Theorem hashinfuni

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4371	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
2	1	snid 3449	. . . . 5 ⊢ ω ∈ {ω}
3		elun2 3152	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ {ω} → ω ∈ (ω ∪ {ω}))
4		breq1 3814	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ω → (𝑦 ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
5	4	elrab3 2760	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ (ω ∪ {ω}) → (ω ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ↔ ω ≼ 𝐴))
6	2, 3, 5	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (ω ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ↔ ω ≼ 𝐴)
7	6	biimpri 131	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
8		elrabi 2756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} → 𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}))
9		elun 3125	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ω ∪ {ω}) ↔ (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
10	8, 9	sylib 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} → (𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}))
11		ordom 4384	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
12		ordelss 4170	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ⊆ ω)
13	11, 12	mpan 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ⊆ ω)
14		elsni 3440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {ω} → 𝑧 = ω)
15		eqimss 3062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ω → 𝑧 ⊆ ω)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {ω} → 𝑧 ⊆ ω)
17	13, 16	jaoi 669	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∨ 𝑧 ∈ {ω}) → 𝑧 ⊆ ω)
18	10, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} → 𝑧 ⊆ ω)
19	18	adantl 271	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}) → 𝑧 ⊆ ω)
20	19	ralrimiva 2440	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}𝑧 ⊆ ω)
21		ssunieq 3660	. . 3 ⊢ ((ω ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴}𝑧 ⊆ ω) → ω = ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
22	7, 20, 21	syl2anc 403	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω = ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴})
23	22	eqcomd 2088	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∪ {𝑦 ∈ (ω ∪ {ω}) ∣ 𝑦 ≼ 𝐴} = ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   ∨ wo 662   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∀wral 2353  {crab 2357   ∪ cun 2982   ⊆ wss 2984  {csn 3422  ∪ cuni 3627   class class class wbr 3811  Ord word 4153  ωcom 4368   ≼ cdom 6386

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-iinf 4366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-tr 3902  df-iord 4157  df-suc 4162  df-iom 4369

This theorem is referenced by:  hashinfom  10021