Theorem txhmeo 13113

Description: Lift a pair of homeomorphisms on the factors to a homeomorphism of product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txhmeo.1	|- X = U. J
txhmeo.2	|- Y = U. K
txhmeo.3	|- ( ph -> F e. ( J Homeo L ) )
txhmeo.4	|- ( ph -> G e. ( K Homeo M ) )

Assertion

Ref	Expression
txhmeo	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   ph, x, y   x, G, y   x, L, y   x, X, y   x, Y, y   x, M, y

Proof of Theorem txhmeo

Dummy variables v u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txhmeo.3	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Homeo L ) )
2		hmeocn 13099	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> F e. ( J Cn L ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( J Cn L ) )
4		cntop1 12995	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn L ) -> J e. Top )
5	3, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> J e. Top )
6		txhmeo.1	. . . . 5 |- X = U. J
7	6	toptopon 12810	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
8	5, 7	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
9		txhmeo.4	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. ( K Homeo M ) )
10		hmeocn 13099	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> G e. ( K Cn M ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G e. ( K Cn M ) )
12		cntop1 12995	. . . . 5 |- ( G e. ( K Cn M ) -> K e. Top )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> K e. Top )
14		txhmeo.2	. . . . 5 |- Y = U. K
15	14	toptopon 12810	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
16	13, 15	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
17	8, 16	cnmpt1st 13082	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> x ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
18	8, 16, 17, 3	cnmpt21f 13086	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( F ` x ) ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
19	8, 16	cnmpt2nd 13083	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
20	8, 16, 19, 11	cnmpt21f 13086	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( G ` y ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
21	8, 16, 18, 20	cnmpt2t 13087	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
22		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
23		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
24	22, 23	op1std 6127	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. x , y >. -> ( 1st ` u ) = x )
25	24	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. x , y >. -> ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( F ` x ) )
26	22, 23	op2ndd 6128	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. x , y >. -> ( 2nd ` u ) = y )
27	26	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. x , y >. -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( G ` y ) )
28	25, 27	opeq12d 3773	. . . . . . . 8 |- ( u = <. x , y >. -> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. = <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. )
29	28	mpompt 5945	. . . . . . 7 |- ( u e. ( X X. Y ) |-> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. )
30	29	eqcomi 2174	. . . . . 6 |- ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( u e. ( X X. Y ) |-> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. )
31		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 |- U. L = U. L
32	6, 31	cnf 12998	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( J Cn L ) -> F : X --> U. L )
33	3, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : X --> U. L )
34		xp1st 6144	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( 1st ` u ) e. X )
35		ffvelrn 5629	. . . . . . . 8 |- ( ( F : X --> U. L /\ ( 1st ` u ) e. X ) -> ( F ` ( 1st ` u ) ) e. U. L )
36	33, 34, 35	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> ( F ` ( 1st ` u ) ) e. U. L )
37		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 |- U. M = U. M
38	14, 37	cnf 12998	. . . . . . . . 9 |- ( G e. ( K Cn M ) -> G : Y --> U. M )
39	11, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : Y --> U. M )
40		xp2nd 6145	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( 2nd ` u ) e. Y )
41		ffvelrn 5629	. . . . . . . 8 |- ( ( G : Y --> U. M /\ ( 2nd ` u ) e. Y ) -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) e. U. M )
42	39, 40, 41	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) e. U. M )
43	36, 42	opelxpd 4644	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. e. ( U. L X. U. M ) )
44	6, 31	hmeof1o 13103	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> F : X -1-1-onto-> U. L )
45	1, 44	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : X -1-1-onto-> U. L )
46		f1ocnv 5455	. . . . . . . . 9 |- ( F : X -1-1-onto-> U. L -> `' F : U. L -1-1-onto-> X )
47		f1of 5442	. . . . . . . . 9 |- ( `' F : U. L -1-1-onto-> X -> `' F : U. L --> X )
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' F : U. L --> X )
49		xp1st 6144	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( 1st ` v ) e. U. L )
50		ffvelrn 5629	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F : U. L --> X /\ ( 1st ` v ) e. U. L ) -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) e. X )
51	48, 49, 50	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) e. X )
52	14, 37	hmeof1o 13103	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
53	9, 52	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
54		f1ocnv 5455	. . . . . . . . 9 |- ( G : Y -1-1-onto-> U. M -> `' G : U. M -1-1-onto-> Y )
55		f1of 5442	. . . . . . . . 9 |- ( `' G : U. M -1-1-onto-> Y -> `' G : U. M --> Y )
56	53, 54, 55	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' G : U. M --> Y )
57		xp2nd 6145	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( 2nd ` v ) e. U. M )
58		ffvelrn 5629	. . . . . . . 8 |- ( ( `' G : U. M --> Y /\ ( 2nd ` v ) e. U. M ) -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) e. Y )
59	56, 57, 58	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) e. Y )
60	51, 59	opelxpd 4644	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. e. ( X X. Y ) )
61	45	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> F : X -1-1-onto-> U. L )
62	34	ad2antrl 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 1st ` u ) e. X )
63	49	ad2antll 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 1st ` v ) e. U. L )
64		f1ocnvfvb 5759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : X -1-1-onto-> U. L /\ ( 1st ` u ) e. X /\ ( 1st ` v ) e. U. L ) -> ( ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) ) )
65	61, 62, 63, 64	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) ) )
66		eqcom 2172	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) <-> ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) )
67		eqcom 2172	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) )
68	65, 66, 67	3bitr4g 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) <-> ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) ) )
69	53	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
70	40	ad2antrl 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 2nd ` u ) e. Y )
71	57	ad2antll 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 2nd ` v ) e. U. M )
72		f1ocnvfvb 5759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y -1-1-onto-> U. M /\ ( 2nd ` u ) e. Y /\ ( 2nd ` v ) e. U. M ) -> ( ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) ) )
73	69, 70, 71, 72	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) ) )
74		eqcom 2172	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) <-> ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) )
75		eqcom 2172	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) )
76	73, 74, 75	3bitr4g 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) <-> ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) )
77	68, 76	anbi12d 470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
78		eqop 6156	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. <-> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) ) )
79	78	ad2antll 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. <-> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) ) )
80		eqop 6156	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
81	80	ad2antrl 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
82	77, 79, 81	3bitr4rd 220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. ) )
83	30, 43, 60, 82	f1ocnv2d 6053	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( U. L X. U. M ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) ) )
84	83	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) )
85		vex 2733	. . . . . . . 8 |- z e. _V
86		vex 2733	. . . . . . . 8 |- w e. _V
87	85, 86	op1std 6127	. . . . . . 7 |- ( v = <. z , w >. -> ( 1st ` v ) = z )
88	87	fveq2d 5500	. . . . . 6 |- ( v = <. z , w >. -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( `' F ` z ) )
89	85, 86	op2ndd 6128	. . . . . . 7 |- ( v = <. z , w >. -> ( 2nd ` v ) = w )
90	89	fveq2d 5500	. . . . . 6 |- ( v = <. z , w >. -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( `' G ` w ) )
91	88, 90	opeq12d 3773	. . . . 5 |- ( v = <. z , w >. -> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. = <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. )
92	91	mpompt 5945	. . . 4 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) = ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. )
93	84, 92	eqtrdi 2219	. . 3 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. ) )
94		cntop2 12996	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn L ) -> L e. Top )
95	3, 94	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> L e. Top )
96	31	toptopon 12810	. . . . 5 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
97	95, 96	sylib 121	. . . 4 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
98		cntop2 12996	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Cn M ) -> M e. Top )
99	11, 98	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. Top )
100	37	toptopon 12810	. . . . 5 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
101	99, 100	sylib 121	. . . 4 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
102	97, 101	cnmpt1st 13082	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> z ) e. ( ( L tX M ) Cn L ) )
103		hmeocnvcn 13100	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> `' F e. ( L Cn J ) )
104	1, 103	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' F e. ( L Cn J ) )
105	97, 101, 102, 104	cnmpt21f 13086	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> ( `' F ` z ) ) e. ( ( L tX M ) Cn J ) )
106	97, 101	cnmpt2nd 13083	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> w ) e. ( ( L tX M ) Cn M ) )
107		hmeocnvcn 13100	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> `' G e. ( M Cn K ) )
108	9, 107	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' G e. ( M Cn K ) )
109	97, 101, 106, 108	cnmpt21f 13086	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> ( `' G ` w ) ) e. ( ( L tX M ) Cn K ) )
110	97, 101, 105, 109	cnmpt2t 13087	. . 3 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) )
111	93, 110	eqeltrd 2247	. 2 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) )
112		ishmeo 13098	. 2 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) <-> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) ) )
113	21, 111, 112	sylanbrc 415	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   U.cuni 3796   |-> cmpt 4050   X. cxp 4609   `'ccnv 4610   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855   1stc1st 6117   2ndc2nd 6118   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   Cn ccn 12979   tX ctx 13046   Homeochmeo 13094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-topgen 12600  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-cn 12982  df-tx 13047  df-hmeo 13095

This theorem is referenced by: (None)