Theorem txhmeo 15343

Description: Lift a pair of homeomorphisms on the factors to a homeomorphism of product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txhmeo.1	|- X = U. J
txhmeo.2	|- Y = U. K
txhmeo.3	|- ( ph -> F e. ( J Homeo L ) )
txhmeo.4	|- ( ph -> G e. ( K Homeo M ) )

Assertion

Ref	Expression
txhmeo	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   ph, x, y   x, G, y   x, L, y   x, X, y   x, Y, y   x, M, y

Proof of Theorem txhmeo

Dummy variables v u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txhmeo.3	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Homeo L ) )
2		hmeocn 15329	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> F e. ( J Cn L ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( J Cn L ) )
4		cntop1 15225	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn L ) -> J e. Top )
5	3, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> J e. Top )
6		txhmeo.1	. . . . 5 |- X = U. J
7	6	toptopon 15042	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
8	5, 7	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
9		txhmeo.4	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. ( K Homeo M ) )
10		hmeocn 15329	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> G e. ( K Cn M ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G e. ( K Cn M ) )
12		cntop1 15225	. . . . 5 |- ( G e. ( K Cn M ) -> K e. Top )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> K e. Top )
14		txhmeo.2	. . . . 5 |- Y = U. K
15	14	toptopon 15042	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
16	13, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
17	8, 16	cnmpt1st 15312	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> x ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
18	8, 16, 17, 3	cnmpt21f 15316	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( F ` x ) ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
19	8, 16	cnmpt2nd 15313	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
20	8, 16, 19, 11	cnmpt21f 15316	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( G ` y ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
21	8, 16, 18, 20	cnmpt2t 15317	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
22		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
23		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
24	22, 23	op1std 6372	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. x , y >. -> ( 1st ` u ) = x )
25	24	fveq2d 5694	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. x , y >. -> ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( F ` x ) )
26	22, 23	op2ndd 6373	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. x , y >. -> ( 2nd ` u ) = y )
27	26	fveq2d 5694	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. x , y >. -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( G ` y ) )
28	25, 27	opeq12d 3907	. . . . . . . 8 |- ( u = <. x , y >. -> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. = <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. )
29	28	mpompt 6170	. . . . . . 7 |- ( u e. ( X X. Y ) |-> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. )
30	29	eqcomi 2242	. . . . . 6 |- ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( u e. ( X X. Y ) |-> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. )
31		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- U. L = U. L
32	6, 31	cnf 15228	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( J Cn L ) -> F : X --> U. L )
33	3, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : X --> U. L )
34		xp1st 6389	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( 1st ` u ) e. X )
35		ffvelcdm 5832	. . . . . . . 8 |- ( ( F : X --> U. L /\ ( 1st ` u ) e. X ) -> ( F ` ( 1st ` u ) ) e. U. L )
36	33, 34, 35	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> ( F ` ( 1st ` u ) ) e. U. L )
37		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- U. M = U. M
38	14, 37	cnf 15228	. . . . . . . . 9 |- ( G e. ( K Cn M ) -> G : Y --> U. M )
39	11, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : Y --> U. M )
40		xp2nd 6390	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( 2nd ` u ) e. Y )
41		ffvelcdm 5832	. . . . . . . 8 |- ( ( G : Y --> U. M /\ ( 2nd ` u ) e. Y ) -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) e. U. M )
42	39, 40, 41	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) e. U. M )
43	36, 42	opelxpd 4802	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. e. ( U. L X. U. M ) )
44	6, 31	hmeof1o 15333	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> F : X -1-1-onto-> U. L )
45	1, 44	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : X -1-1-onto-> U. L )
46		f1ocnv 5647	. . . . . . . . 9 |- ( F : X -1-1-onto-> U. L -> `' F : U. L -1-1-onto-> X )
47		f1of 5634	. . . . . . . . 9 |- ( `' F : U. L -1-1-onto-> X -> `' F : U. L --> X )
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' F : U. L --> X )
49		xp1st 6389	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( 1st ` v ) e. U. L )
50		ffvelcdm 5832	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F : U. L --> X /\ ( 1st ` v ) e. U. L ) -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) e. X )
51	48, 49, 50	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) e. X )
52	14, 37	hmeof1o 15333	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
53	9, 52	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
54		f1ocnv 5647	. . . . . . . . 9 |- ( G : Y -1-1-onto-> U. M -> `' G : U. M -1-1-onto-> Y )
55		f1of 5634	. . . . . . . . 9 |- ( `' G : U. M -1-1-onto-> Y -> `' G : U. M --> Y )
56	53, 54, 55	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' G : U. M --> Y )
57		xp2nd 6390	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( 2nd ` v ) e. U. M )
58		ffvelcdm 5832	. . . . . . . 8 |- ( ( `' G : U. M --> Y /\ ( 2nd ` v ) e. U. M ) -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) e. Y )
59	56, 57, 58	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) e. Y )
60	51, 59	opelxpd 4802	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. e. ( X X. Y ) )
61	45	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> F : X -1-1-onto-> U. L )
62	34	ad2antrl 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 1st ` u ) e. X )
63	49	ad2antll 495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 1st ` v ) e. U. L )
64		f1ocnvfvb 5976	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : X -1-1-onto-> U. L /\ ( 1st ` u ) e. X /\ ( 1st ` v ) e. U. L ) -> ( ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) ) )
65	61, 62, 63, 64	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) ) )
66		eqcom 2240	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) <-> ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) )
67		eqcom 2240	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) )
68	65, 66, 67	3bitr4g 223	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) <-> ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) ) )
69	53	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
70	40	ad2antrl 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 2nd ` u ) e. Y )
71	57	ad2antll 495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 2nd ` v ) e. U. M )
72		f1ocnvfvb 5976	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y -1-1-onto-> U. M /\ ( 2nd ` u ) e. Y /\ ( 2nd ` v ) e. U. M ) -> ( ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) ) )
73	69, 70, 71, 72	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) ) )
74		eqcom 2240	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) <-> ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) )
75		eqcom 2240	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) )
76	73, 74, 75	3bitr4g 223	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) <-> ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) )
77	68, 76	anbi12d 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
78		eqop 6401	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. <-> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) ) )
79	78	ad2antll 495	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. <-> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) ) )
80		eqop 6401	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
81	80	ad2antrl 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
82	77, 79, 81	3bitr4rd 221	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. ) )
83	30, 43, 60, 82	f1ocnv2d 6284	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( U. L X. U. M ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) ) )
84	83	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) )
85		vex 2824	. . . . . . . 8 |- z e. _V
86		vex 2824	. . . . . . . 8 |- w e. _V
87	85, 86	op1std 6372	. . . . . . 7 |- ( v = <. z , w >. -> ( 1st ` v ) = z )
88	87	fveq2d 5694	. . . . . 6 |- ( v = <. z , w >. -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( `' F ` z ) )
89	85, 86	op2ndd 6373	. . . . . . 7 |- ( v = <. z , w >. -> ( 2nd ` v ) = w )
90	89	fveq2d 5694	. . . . . 6 |- ( v = <. z , w >. -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( `' G ` w ) )
91	88, 90	opeq12d 3907	. . . . 5 |- ( v = <. z , w >. -> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. = <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. )
92	91	mpompt 6170	. . . 4 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) = ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. )
93	84, 92	eqtrdi 2287	. . 3 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. ) )
94		cntop2 15226	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn L ) -> L e. Top )
95	3, 94	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> L e. Top )
96	31	toptopon 15042	. . . . 5 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
97	95, 96	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
98		cntop2 15226	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Cn M ) -> M e. Top )
99	11, 98	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. Top )
100	37	toptopon 15042	. . . . 5 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
101	99, 100	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
102	97, 101	cnmpt1st 15312	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> z ) e. ( ( L tX M ) Cn L ) )
103		hmeocnvcn 15330	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> `' F e. ( L Cn J ) )
104	1, 103	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' F e. ( L Cn J ) )
105	97, 101, 102, 104	cnmpt21f 15316	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> ( `' F ` z ) ) e. ( ( L tX M ) Cn J ) )
106	97, 101	cnmpt2nd 15313	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> w ) e. ( ( L tX M ) Cn M ) )
107		hmeocnvcn 15330	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> `' G e. ( M Cn K ) )
108	9, 107	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' G e. ( M Cn K ) )
109	97, 101, 106, 108	cnmpt21f 15316	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> ( `' G ` w ) ) e. ( ( L tX M ) Cn K ) )
110	97, 101, 105, 109	cnmpt2t 15317	. . 3 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) )
111	93, 110	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) )
112		ishmeo 15328	. 2 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) <-> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) ) )
113	21, 111, 112	sylanbrc 421	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3708   U.cuni 3930   |-> cmpt 4187   X. cxp 4767   `'ccnv 4768   -->wf 5368   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   e. cmpo 6077   1stc1st 6362   2ndc2nd 6363   Topctop 15021  TopOnctopon 15034   Cn ccn 15209   tX ctx 15276   Homeochmeo 15324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-topgen 13591  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-cn 15212  df-tx 15277  df-hmeo 15325

This theorem is referenced by: (None)