Theorem txhmeo 15009

Description: Lift a pair of homeomorphisms on the factors to a homeomorphism of product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txhmeo.1	|- X = U. J
txhmeo.2	|- Y = U. K
txhmeo.3	|- ( ph -> F e. ( J Homeo L ) )
txhmeo.4	|- ( ph -> G e. ( K Homeo M ) )

Assertion

Ref	Expression
txhmeo	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   ph, x, y   x, G, y   x, L, y   x, X, y   x, Y, y   x, M, y

Proof of Theorem txhmeo

Dummy variables v u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txhmeo.3	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Homeo L ) )
2		hmeocn 14995	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> F e. ( J Cn L ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( J Cn L ) )
4		cntop1 14891	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn L ) -> J e. Top )
5	3, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> J e. Top )
6		txhmeo.1	. . . . 5 |- X = U. J
7	6	toptopon 14708	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
8	5, 7	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
9		txhmeo.4	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. ( K Homeo M ) )
10		hmeocn 14995	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> G e. ( K Cn M ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G e. ( K Cn M ) )
12		cntop1 14891	. . . . 5 |- ( G e. ( K Cn M ) -> K e. Top )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> K e. Top )
14		txhmeo.2	. . . . 5 |- Y = U. K
15	14	toptopon 14708	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
16	13, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
17	8, 16	cnmpt1st 14978	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> x ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
18	8, 16, 17, 3	cnmpt21f 14982	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( F ` x ) ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
19	8, 16	cnmpt2nd 14979	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
20	8, 16, 19, 11	cnmpt21f 14982	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( G ` y ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
21	8, 16, 18, 20	cnmpt2t 14983	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
22		vex 2802	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
23		vex 2802	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
24	22, 23	op1std 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. x , y >. -> ( 1st ` u ) = x )
25	24	fveq2d 5633	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. x , y >. -> ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( F ` x ) )
26	22, 23	op2ndd 6301	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. x , y >. -> ( 2nd ` u ) = y )
27	26	fveq2d 5633	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. x , y >. -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( G ` y ) )
28	25, 27	opeq12d 3865	. . . . . . . 8 |- ( u = <. x , y >. -> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. = <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. )
29	28	mpompt 6102	. . . . . . 7 |- ( u e. ( X X. Y ) |-> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. )
30	29	eqcomi 2233	. . . . . 6 |- ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( u e. ( X X. Y ) |-> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. )
31		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 |- U. L = U. L
32	6, 31	cnf 14894	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( J Cn L ) -> F : X --> U. L )
33	3, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : X --> U. L )
34		xp1st 6317	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( 1st ` u ) e. X )
35		ffvelcdm 5770	. . . . . . . 8 |- ( ( F : X --> U. L /\ ( 1st ` u ) e. X ) -> ( F ` ( 1st ` u ) ) e. U. L )
36	33, 34, 35	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> ( F ` ( 1st ` u ) ) e. U. L )
37		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 |- U. M = U. M
38	14, 37	cnf 14894	. . . . . . . . 9 |- ( G e. ( K Cn M ) -> G : Y --> U. M )
39	11, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : Y --> U. M )
40		xp2nd 6318	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( 2nd ` u ) e. Y )
41		ffvelcdm 5770	. . . . . . . 8 |- ( ( G : Y --> U. M /\ ( 2nd ` u ) e. Y ) -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) e. U. M )
42	39, 40, 41	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) e. U. M )
43	36, 42	opelxpd 4752	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. e. ( U. L X. U. M ) )
44	6, 31	hmeof1o 14999	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> F : X -1-1-onto-> U. L )
45	1, 44	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : X -1-1-onto-> U. L )
46		f1ocnv 5587	. . . . . . . . 9 |- ( F : X -1-1-onto-> U. L -> `' F : U. L -1-1-onto-> X )
47		f1of 5574	. . . . . . . . 9 |- ( `' F : U. L -1-1-onto-> X -> `' F : U. L --> X )
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' F : U. L --> X )
49		xp1st 6317	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( 1st ` v ) e. U. L )
50		ffvelcdm 5770	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F : U. L --> X /\ ( 1st ` v ) e. U. L ) -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) e. X )
51	48, 49, 50	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) e. X )
52	14, 37	hmeof1o 14999	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
53	9, 52	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
54		f1ocnv 5587	. . . . . . . . 9 |- ( G : Y -1-1-onto-> U. M -> `' G : U. M -1-1-onto-> Y )
55		f1of 5574	. . . . . . . . 9 |- ( `' G : U. M -1-1-onto-> Y -> `' G : U. M --> Y )
56	53, 54, 55	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' G : U. M --> Y )
57		xp2nd 6318	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( 2nd ` v ) e. U. M )
58		ffvelcdm 5770	. . . . . . . 8 |- ( ( `' G : U. M --> Y /\ ( 2nd ` v ) e. U. M ) -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) e. Y )
59	56, 57, 58	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) e. Y )
60	51, 59	opelxpd 4752	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. e. ( X X. Y ) )
61	45	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> F : X -1-1-onto-> U. L )
62	34	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 1st ` u ) e. X )
63	49	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 1st ` v ) e. U. L )
64		f1ocnvfvb 5910	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : X -1-1-onto-> U. L /\ ( 1st ` u ) e. X /\ ( 1st ` v ) e. U. L ) -> ( ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) ) )
65	61, 62, 63, 64	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) ) )
66		eqcom 2231	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) <-> ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) )
67		eqcom 2231	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) )
68	65, 66, 67	3bitr4g 223	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) <-> ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) ) )
69	53	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
70	40	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 2nd ` u ) e. Y )
71	57	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 2nd ` v ) e. U. M )
72		f1ocnvfvb 5910	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y -1-1-onto-> U. M /\ ( 2nd ` u ) e. Y /\ ( 2nd ` v ) e. U. M ) -> ( ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) ) )
73	69, 70, 71, 72	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) ) )
74		eqcom 2231	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) <-> ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) )
75		eqcom 2231	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) )
76	73, 74, 75	3bitr4g 223	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) <-> ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) )
77	68, 76	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
78		eqop 6329	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. <-> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) ) )
79	78	ad2antll 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. <-> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) ) )
80		eqop 6329	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
81	80	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
82	77, 79, 81	3bitr4rd 221	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. ) )
83	30, 43, 60, 82	f1ocnv2d 6216	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( U. L X. U. M ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) ) )
84	83	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) )
85		vex 2802	. . . . . . . 8 |- z e. _V
86		vex 2802	. . . . . . . 8 |- w e. _V
87	85, 86	op1std 6300	. . . . . . 7 |- ( v = <. z , w >. -> ( 1st ` v ) = z )
88	87	fveq2d 5633	. . . . . 6 |- ( v = <. z , w >. -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( `' F ` z ) )
89	85, 86	op2ndd 6301	. . . . . . 7 |- ( v = <. z , w >. -> ( 2nd ` v ) = w )
90	89	fveq2d 5633	. . . . . 6 |- ( v = <. z , w >. -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( `' G ` w ) )
91	88, 90	opeq12d 3865	. . . . 5 |- ( v = <. z , w >. -> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. = <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. )
92	91	mpompt 6102	. . . 4 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) = ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. )
93	84, 92	eqtrdi 2278	. . 3 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. ) )
94		cntop2 14892	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn L ) -> L e. Top )
95	3, 94	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> L e. Top )
96	31	toptopon 14708	. . . . 5 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
97	95, 96	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
98		cntop2 14892	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Cn M ) -> M e. Top )
99	11, 98	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. Top )
100	37	toptopon 14708	. . . . 5 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
101	99, 100	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
102	97, 101	cnmpt1st 14978	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> z ) e. ( ( L tX M ) Cn L ) )
103		hmeocnvcn 14996	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> `' F e. ( L Cn J ) )
104	1, 103	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' F e. ( L Cn J ) )
105	97, 101, 102, 104	cnmpt21f 14982	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> ( `' F ` z ) ) e. ( ( L tX M ) Cn J ) )
106	97, 101	cnmpt2nd 14979	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> w ) e. ( ( L tX M ) Cn M ) )
107		hmeocnvcn 14996	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> `' G e. ( M Cn K ) )
108	9, 107	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' G e. ( M Cn K ) )
109	97, 101, 106, 108	cnmpt21f 14982	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> ( `' G ` w ) ) e. ( ( L tX M ) Cn K ) )
110	97, 101, 105, 109	cnmpt2t 14983	. . 3 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) )
111	93, 110	eqeltrd 2306	. 2 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) )
112		ishmeo 14994	. 2 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) <-> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) ) )
113	21, 111, 112	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   U.cuni 3888   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   `'ccnv 4718   -->wf 5314   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   e. cmpo 6009   1stc1st 6290   2ndc2nd 6291   Topctop 14687  TopOnctopon 14700   Cn ccn 14875   tX ctx 14942   Homeochmeo 14990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-topgen 13309  df-top 14688  df-topon 14701  df-bases 14733  df-cn 14878  df-tx 14943  df-hmeo 14991

This theorem is referenced by: (None)