Theorem txhmeo 13486

Description: Lift a pair of homeomorphisms on the factors to a homeomorphism of product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txhmeo.1	|- X = U. J
txhmeo.2	|- Y = U. K
txhmeo.3	|- ( ph -> F e. ( J Homeo L ) )
txhmeo.4	|- ( ph -> G e. ( K Homeo M ) )

Assertion

Ref	Expression
txhmeo	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   ph, x, y   x, G, y   x, L, y   x, X, y   x, Y, y   x, M, y

Proof of Theorem txhmeo

Dummy variables v u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txhmeo.3	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Homeo L ) )
2		hmeocn 13472	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> F e. ( J Cn L ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( J Cn L ) )
4		cntop1 13368	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn L ) -> J e. Top )
5	3, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> J e. Top )
6		txhmeo.1	. . . . 5 |- X = U. J
7	6	toptopon 13183	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
8	5, 7	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
9		txhmeo.4	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. ( K Homeo M ) )
10		hmeocn 13472	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> G e. ( K Cn M ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G e. ( K Cn M ) )
12		cntop1 13368	. . . . 5 |- ( G e. ( K Cn M ) -> K e. Top )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> K e. Top )
14		txhmeo.2	. . . . 5 |- Y = U. K
15	14	toptopon 13183	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
16	13, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
17	8, 16	cnmpt1st 13455	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> x ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
18	8, 16, 17, 3	cnmpt21f 13459	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( F ` x ) ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
19	8, 16	cnmpt2nd 13456	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
20	8, 16, 19, 11	cnmpt21f 13459	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( G ` y ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
21	8, 16, 18, 20	cnmpt2t 13460	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
22		vex 2740	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
23		vex 2740	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
24	22, 23	op1std 6143	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. x , y >. -> ( 1st ` u ) = x )
25	24	fveq2d 5515	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. x , y >. -> ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( F ` x ) )
26	22, 23	op2ndd 6144	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. x , y >. -> ( 2nd ` u ) = y )
27	26	fveq2d 5515	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. x , y >. -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( G ` y ) )
28	25, 27	opeq12d 3784	. . . . . . . 8 |- ( u = <. x , y >. -> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. = <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. )
29	28	mpompt 5961	. . . . . . 7 |- ( u e. ( X X. Y ) |-> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. )
30	29	eqcomi 2181	. . . . . 6 |- ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( u e. ( X X. Y ) |-> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. )
31		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- U. L = U. L
32	6, 31	cnf 13371	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( J Cn L ) -> F : X --> U. L )
33	3, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : X --> U. L )
34		xp1st 6160	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( 1st ` u ) e. X )
35		ffvelcdm 5645	. . . . . . . 8 |- ( ( F : X --> U. L /\ ( 1st ` u ) e. X ) -> ( F ` ( 1st ` u ) ) e. U. L )
36	33, 34, 35	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> ( F ` ( 1st ` u ) ) e. U. L )
37		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- U. M = U. M
38	14, 37	cnf 13371	. . . . . . . . 9 |- ( G e. ( K Cn M ) -> G : Y --> U. M )
39	11, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : Y --> U. M )
40		xp2nd 6161	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( 2nd ` u ) e. Y )
41		ffvelcdm 5645	. . . . . . . 8 |- ( ( G : Y --> U. M /\ ( 2nd ` u ) e. Y ) -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) e. U. M )
42	39, 40, 41	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) e. U. M )
43	36, 42	opelxpd 4656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. e. ( U. L X. U. M ) )
44	6, 31	hmeof1o 13476	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> F : X -1-1-onto-> U. L )
45	1, 44	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : X -1-1-onto-> U. L )
46		f1ocnv 5470	. . . . . . . . 9 |- ( F : X -1-1-onto-> U. L -> `' F : U. L -1-1-onto-> X )
47		f1of 5457	. . . . . . . . 9 |- ( `' F : U. L -1-1-onto-> X -> `' F : U. L --> X )
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' F : U. L --> X )
49		xp1st 6160	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( 1st ` v ) e. U. L )
50		ffvelcdm 5645	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F : U. L --> X /\ ( 1st ` v ) e. U. L ) -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) e. X )
51	48, 49, 50	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) e. X )
52	14, 37	hmeof1o 13476	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
53	9, 52	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
54		f1ocnv 5470	. . . . . . . . 9 |- ( G : Y -1-1-onto-> U. M -> `' G : U. M -1-1-onto-> Y )
55		f1of 5457	. . . . . . . . 9 |- ( `' G : U. M -1-1-onto-> Y -> `' G : U. M --> Y )
56	53, 54, 55	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' G : U. M --> Y )
57		xp2nd 6161	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( 2nd ` v ) e. U. M )
58		ffvelcdm 5645	. . . . . . . 8 |- ( ( `' G : U. M --> Y /\ ( 2nd ` v ) e. U. M ) -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) e. Y )
59	56, 57, 58	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) e. Y )
60	51, 59	opelxpd 4656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. e. ( X X. Y ) )
61	45	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> F : X -1-1-onto-> U. L )
62	34	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 1st ` u ) e. X )
63	49	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 1st ` v ) e. U. L )
64		f1ocnvfvb 5775	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : X -1-1-onto-> U. L /\ ( 1st ` u ) e. X /\ ( 1st ` v ) e. U. L ) -> ( ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) ) )
65	61, 62, 63, 64	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) ) )
66		eqcom 2179	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) <-> ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) )
67		eqcom 2179	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) )
68	65, 66, 67	3bitr4g 223	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) <-> ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) ) )
69	53	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
70	40	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 2nd ` u ) e. Y )
71	57	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 2nd ` v ) e. U. M )
72		f1ocnvfvb 5775	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y -1-1-onto-> U. M /\ ( 2nd ` u ) e. Y /\ ( 2nd ` v ) e. U. M ) -> ( ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) ) )
73	69, 70, 71, 72	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) ) )
74		eqcom 2179	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) <-> ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) )
75		eqcom 2179	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) )
76	73, 74, 75	3bitr4g 223	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) <-> ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) )
77	68, 76	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
78		eqop 6172	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. <-> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) ) )
79	78	ad2antll 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. <-> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) ) )
80		eqop 6172	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
81	80	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
82	77, 79, 81	3bitr4rd 221	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. ) )
83	30, 43, 60, 82	f1ocnv2d 6069	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( U. L X. U. M ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) ) )
84	83	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) )
85		vex 2740	. . . . . . . 8 |- z e. _V
86		vex 2740	. . . . . . . 8 |- w e. _V
87	85, 86	op1std 6143	. . . . . . 7 |- ( v = <. z , w >. -> ( 1st ` v ) = z )
88	87	fveq2d 5515	. . . . . 6 |- ( v = <. z , w >. -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( `' F ` z ) )
89	85, 86	op2ndd 6144	. . . . . . 7 |- ( v = <. z , w >. -> ( 2nd ` v ) = w )
90	89	fveq2d 5515	. . . . . 6 |- ( v = <. z , w >. -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( `' G ` w ) )
91	88, 90	opeq12d 3784	. . . . 5 |- ( v = <. z , w >. -> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. = <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. )
92	91	mpompt 5961	. . . 4 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) = ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. )
93	84, 92	eqtrdi 2226	. . 3 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. ) )
94		cntop2 13369	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn L ) -> L e. Top )
95	3, 94	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> L e. Top )
96	31	toptopon 13183	. . . . 5 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
97	95, 96	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
98		cntop2 13369	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Cn M ) -> M e. Top )
99	11, 98	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. Top )
100	37	toptopon 13183	. . . . 5 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
101	99, 100	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
102	97, 101	cnmpt1st 13455	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> z ) e. ( ( L tX M ) Cn L ) )
103		hmeocnvcn 13473	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> `' F e. ( L Cn J ) )
104	1, 103	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' F e. ( L Cn J ) )
105	97, 101, 102, 104	cnmpt21f 13459	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> ( `' F ` z ) ) e. ( ( L tX M ) Cn J ) )
106	97, 101	cnmpt2nd 13456	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> w ) e. ( ( L tX M ) Cn M ) )
107		hmeocnvcn 13473	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> `' G e. ( M Cn K ) )
108	9, 107	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' G e. ( M Cn K ) )
109	97, 101, 106, 108	cnmpt21f 13459	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> ( `' G ` w ) ) e. ( ( L tX M ) Cn K ) )
110	97, 101, 105, 109	cnmpt2t 13460	. . 3 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) )
111	93, 110	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) )
112		ishmeo 13471	. 2 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) <-> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) ) )
113	21, 111, 112	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3594   U.cuni 3807   |-> cmpt 4061   X. cxp 4621   `'ccnv 4622   -->wf 5208   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   e. cmpo 5871   1stc1st 6133   2ndc2nd 6134   Topctop 13162  TopOnctopon 13175   Cn ccn 13352   tX ctx 13419   Homeochmeo 13467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-map 6644  df-topgen 12657  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-cn 13355  df-tx 13420  df-hmeo 13468

This theorem is referenced by: (None)