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Theorem txhmeo 13755
Description: Lift a pair of homeomorphisms on the factors to a homeomorphism of product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txhmeo.1  |-  X  = 
U. J
txhmeo.2  |-  Y  = 
U. K
txhmeo.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J
Homeo L ) )
txhmeo.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K
Homeo M ) )
Assertion
Ref Expression
txhmeo  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K )
Homeo ( L  tX  M
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F   
x, J, y    x, K, y    ph, x, y   
x, G, y    x, L, y    x, X, y   
x, Y, y    x, M, y

Proof of Theorem txhmeo
Dummy variables  v  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txhmeo.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J
Homeo L ) )
2 hmeocn 13741 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J Homeo L )  ->  F  e.  ( J  Cn  L
) )
31, 2syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  L ) )
4 cntop1 13637 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  L )  ->  J  e.  Top )
53, 4syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
6 txhmeo.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
76toptopon 13454 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
85, 7sylib 122 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 txhmeo.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K
Homeo M ) )
10 hmeocn 13741 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( K Homeo M )  ->  G  e.  ( K  Cn  M
) )
119, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  M ) )
12 cntop1 13637 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( K  Cn  M )  ->  K  e.  Top )
1311, 12syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
14 txhmeo.2 . . . . 5  |-  Y  = 
U. K
1514toptopon 13454 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
1613, 15sylib 122 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
178, 16cnmpt1st 13724 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  x )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J ) )
188, 16, 17, 3cnmpt21f 13728 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( F `  x
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
198, 16cnmpt2nd 13725 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  y )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  K ) )
208, 16, 19, 11cnmpt21f 13728 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( G `  y
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
218, 16, 18, 20cnmpt2t 13729 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  ( L  tX  M ) ) )
22 vex 2740 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
23 vex 2740 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2422, 23op1std 6148 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  u
)  =  x )
2524fveq2d 5519 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 1st `  u ) )  =  ( F `
 x ) )
2622, 23op2ndd 6149 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  u
)  =  y )
2726fveq2d 5519 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  =  ( G `
 y ) )
2825, 27opeq12d 3786 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `
 ( 2nd `  u
) ) >.  =  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y ) >. )
2928mpompt 5966 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  |->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) )
>. )  =  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)
3029eqcomi 2181 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y ) >. )  =  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  |->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `
 ( 2nd `  u
) ) >. )
31 eqid 2177 . . . . . . . . . 10  |-  U. L  =  U. L
326, 31cnf 13640 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( J  Cn  L )  ->  F : X --> U. L )
333, 32syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : X --> U. L
)
34 xp1st 6165 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 1st `  u )  e.  X )
35 ffvelcdm 5649 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> U. L  /\  ( 1st `  u
)  e.  X )  ->  ( F `  ( 1st `  u ) )  e.  U. L
)
3633, 34, 35syl2an 289 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( F `  ( 1st `  u ) )  e. 
U. L )
37 eqid 2177 . . . . . . . . . 10  |-  U. M  =  U. M
3814, 37cnf 13640 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( K  Cn  M )  ->  G : Y --> U. M )
3911, 38syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : Y --> U. M
)
40 xp2nd 6166 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 2nd `  u )  e.  Y )
41 ffvelcdm 5649 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : Y --> U. M  /\  ( 2nd `  u
)  e.  Y )  ->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  e.  U. M
)
4239, 40, 41syl2an 289 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  e. 
U. M )
4336, 42opelxpd 4659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) )
>.  e.  ( U. L  X.  U. M ) )
446, 31hmeof1o 13745 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( J Homeo L )  ->  F : X
-1-1-onto-> U. L )
451, 44syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> U. L
)
46 f1ocnv 5474 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> U. L  ->  `' F : U. L -1-1-onto-> X )
47 f1of 5461 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : U. L -1-1-onto-> X  ->  `' F : U. L --> X )
4845, 46, 473syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' F : U. L --> X )
49 xp1st 6165 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  -> 
( 1st `  v
)  e.  U. L
)
50 ffvelcdm 5649 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F : U. L --> X  /\  ( 1st `  v
)  e.  U. L
)  ->  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  e.  X )
5148, 49, 50syl2an 289 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) )  -> 
( `' F `  ( 1st `  v ) )  e.  X )
5214, 37hmeof1o 13745 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( K Homeo M )  ->  G : Y
-1-1-onto-> U. M )
539, 52syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : Y -1-1-onto-> U. M
)
54 f1ocnv 5474 . . . . . . . . 9  |-  ( G : Y -1-1-onto-> U. M  ->  `' G : U. M -1-1-onto-> Y )
55 f1of 5461 . . . . . . . . 9  |-  ( `' G : U. M -1-1-onto-> Y  ->  `' G : U. M --> Y )
5653, 54, 553syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' G : U. M --> Y )
57 xp2nd 6166 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  -> 
( 2nd `  v
)  e.  U. M
)
58 ffvelcdm 5649 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' G : U. M --> Y  /\  ( 2nd `  v
)  e.  U. M
)  ->  ( `' G `  ( 2nd `  v ) )  e.  Y )
5956, 57, 58syl2an 289 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) )  -> 
( `' G `  ( 2nd `  v ) )  e.  Y )
6051, 59opelxpd 4659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) )  ->  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
6145adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  F : X -1-1-onto-> U. L )
6234ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 1st `  u
)  e.  X )
6349ad2antll 491 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 1st `  v
)  e.  U. L
)
64 f1ocnvfvb 5780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> U. L  /\  ( 1st `  u
)  e.  X  /\  ( 1st `  v )  e.  U. L )  ->  ( ( F `
 ( 1st `  u
) )  =  ( 1st `  v )  <-> 
( `' F `  ( 1st `  v ) )  =  ( 1st `  u ) ) )
6561, 62, 63, 64syl3anc 1238 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( F `
 ( 1st `  u
) )  =  ( 1st `  v )  <-> 
( `' F `  ( 1st `  v ) )  =  ( 1st `  u ) ) )
66 eqcom 2179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  <->  ( F `  ( 1st `  u ) )  =  ( 1st `  v ) )
67 eqcom 2179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  u )  =  ( `' F `  ( 1st `  v
) )  <->  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  =  ( 1st `  u
) )
6865, 66, 673bitr4g 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  <->  ( 1st `  u )  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ) )
6953adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  G : Y -1-1-onto-> U. M )
7040ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 2nd `  u
)  e.  Y )
7157ad2antll 491 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 2nd `  v
)  e.  U. M
)
72 f1ocnvfvb 5780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y -1-1-onto-> U. M  /\  ( 2nd `  u
)  e.  Y  /\  ( 2nd `  v )  e.  U. M )  ->  ( ( G `
 ( 2nd `  u
) )  =  ( 2nd `  v )  <-> 
( `' G `  ( 2nd `  v ) )  =  ( 2nd `  u ) ) )
7369, 70, 71, 72syl3anc 1238 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( G `
 ( 2nd `  u
) )  =  ( 2nd `  v )  <-> 
( `' G `  ( 2nd `  v ) )  =  ( 2nd `  u ) ) )
74 eqcom 2179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) )  <->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  =  ( 2nd `  v ) )
75 eqcom 2179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) )  <->  ( `' G `  ( 2nd `  v ) )  =  ( 2nd `  u
) )
7673, 74, 753bitr4g 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) )  <->  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) ) )
7768, 76anbi12d 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  /\  ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) ) )  <-> 
( ( 1st `  u
)  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  /\  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) ) ) ) )
78 eqop 6177 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  -> 
( v  =  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) )
>. 
<->  ( ( 1st `  v
)  =  ( F `
 ( 1st `  u
) )  /\  ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) ) ) ) )
7978ad2antll 491 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( v  = 
<. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) ) >.  <->  ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  /\  ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) ) ) ) )
80 eqop 6177 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  ->  (
u  =  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  <->  ( ( 1st `  u )  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  /\  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) ) ) ) )
8180ad2antrl 490 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( u  = 
<. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  <->  ( ( 1st `  u
)  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  /\  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) ) ) ) )
8277, 79, 813bitr4rd 221 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( u  = 
<. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  <->  v  =  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `
 ( 2nd `  u
) ) >. )
)
8330, 43, 60, 82f1ocnv2d 6074 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ( U. L  X.  U. M )  /\  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y ) >. )  =  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  |->  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >. ) ) )
8483simprd 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  =  (
v  e.  ( U. L  X.  U. M ) 
|->  <. ( `' F `  ( 1st `  v
) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.
) )
85 vex 2740 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
86 vex 2740 . . . . . . . 8  |-  w  e. 
_V
8785, 86op1std 6148 . . . . . . 7  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( 1st `  v
)  =  z )
8887fveq2d 5519 . . . . . 6  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( `' F `  ( 1st `  v
) )  =  ( `' F `  z ) )
8985, 86op2ndd 6149 . . . . . . 7  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( 2nd `  v
)  =  w )
9089fveq2d 5519 . . . . . 6  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( `' G `  ( 2nd `  v
) )  =  ( `' G `  w ) )
9188, 90opeq12d 3786 . . . . 5  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  <. ( `' F `  ( 1st `  v
) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  =  <. ( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. )
9291mpompt 5966 . . . 4  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  |->  <.
( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.
)  =  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  <.
( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. )
9384, 92eqtrdi 2226 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  =  (
z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |-> 
<. ( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. ) )
94 cntop2 13638 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
953, 94syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
9631toptopon 13454 . . . . 5  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
9795, 96sylib 122 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
98 cntop2 13638 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( K  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
9911, 98syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
10037toptopon 13454 . . . . 5  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
10199, 100sylib 122 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
10297, 101cnmpt1st 13724 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  z )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  L
) )
103 hmeocnvcn 13742 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J Homeo L )  ->  `' F  e.  ( L  Cn  J
) )
1041, 103syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( L  Cn  J ) )
10597, 101, 102, 104cnmpt21f 13728 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  ( `' F `  z ) )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  J
) )
10697, 101cnmpt2nd 13725 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  w )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  M
) )
107 hmeocnvcn 13742 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( K Homeo M )  ->  `' G  e.  ( M  Cn  K
) )
1089, 107syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' G  e.  ( M  Cn  K ) )
10997, 101, 106, 108cnmpt21f 13728 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  ( `' G `  w ) )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  K
) )
11097, 101, 105, 109cnmpt2t 13729 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  <. ( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. )  e.  (
( L  tX  M
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) )
11193, 110eqeltrd 2254 . 2  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  e.  (
( L  tX  M
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) )
112 ishmeo 13740 . 2  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K )
Homeo ( L  tX  M
) )  <->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  ( L  tX  M ) )  /\  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  e.  (
( L  tX  M
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) ) )
11321, 111, 112sylanbrc 417 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K )
Homeo ( L  tX  M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   <.cop 3595   U.cuni 3809    |-> cmpt 4064    X. cxp 4624   `'ccnv 4625   -->wf 5212   -1-1-onto->wf1o 5215   ` cfv 5216  (class class class)co 5874    e. cmpo 5876   1stc1st 6138   2ndc2nd 6139   Topctop 13433  TopOnctopon 13446    Cn ccn 13621    tX ctx 13688   Homeochmeo 13736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-topgen 12708  df-top 13434  df-topon 13447  df-bases 13479  df-cn 13624  df-tx 13689  df-hmeo 13737
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