Theorem hmeocnv 12947

Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocnv	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Homeo J ) )

Proof of Theorem hmeocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 12946	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
2		hmeocn 12945	. . . . 5 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
3		eqid 2165	. . . . . 6 |- U. J = U. J
4		eqid 2165	. . . . . 6 |- U. K = U. K
5	3, 4	cnf 12844	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
6		frel 5342	. . . . 5 |- ( F : U. J --> U. K -> Rel F )
7	2, 5, 6	3syl 17	. . . 4 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> Rel F )
8		dfrel2 5054	. . . 4 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
9	7, 8	sylib 121	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' `' F = F )
10	9, 2	eqeltrd 2243	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' `' F e. ( J Cn K ) )
11		ishmeo 12944	. 2 |- ( `' F e. ( K Homeo J ) <-> ( `' F e. ( K Cn J ) /\ `' `' F e. ( J Cn K ) ) )
12	1, 10, 11	sylanbrc 414	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Homeo J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   U.cuni 3789   `'ccnv 4603   Rel wrel 4609   -->wf 5184  (class class class)co 5842   Cn ccn 12825   Homeochmeo 12940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-top 12636  df-topon 12649  df-cn 12828  df-hmeo 12941

This theorem is referenced by:  hmeocnvb  12958