Theorem hmeocnv 15172

Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocnv	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Homeo J ) )

Proof of Theorem hmeocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 15171	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
2		hmeocn 15170	. . . . 5 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
3		eqid 2232	. . . . . 6 |- U. J = U. J
4		eqid 2232	. . . . . 6 |- U. K = U. K
5	3, 4	cnf 15069	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
6		frel 5513	. . . . 5 |- ( F : U. J --> U. K -> Rel F )
7	2, 5, 6	3syl 17	. . . 4 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> Rel F )
8		dfrel2 5213	. . . 4 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
9	7, 8	sylib 122	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' `' F = F )
10	9, 2	eqeltrd 2309	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' `' F e. ( J Cn K ) )
11		ishmeo 15169	. 2 |- ( `' F e. ( K Homeo J ) <-> ( `' F e. ( K Cn J ) /\ `' `' F e. ( J Cn K ) ) )
12	1, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Homeo J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   U.cuni 3914   `'ccnv 4748   Rel wrel 4754   -->wf 5348  (class class class)co 6050   Cn ccn 15050   Homeochmeo 15165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-top 14863  df-topon 14876  df-cn 15053  df-hmeo 15166

This theorem is referenced by:  hmeocnvb  15183