Theorem hmeocnv 13892

Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocnv	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Homeo J ) )

Proof of Theorem hmeocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 13891	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
2		hmeocn 13890	. . . . 5 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
3		eqid 2177	. . . . . 6 |- U. J = U. J
4		eqid 2177	. . . . . 6 |- U. K = U. K
5	3, 4	cnf 13789	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
6		frel 5372	. . . . 5 |- ( F : U. J --> U. K -> Rel F )
7	2, 5, 6	3syl 17	. . . 4 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> Rel F )
8		dfrel2 5081	. . . 4 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
9	7, 8	sylib 122	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' `' F = F )
10	9, 2	eqeltrd 2254	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' `' F e. ( J Cn K ) )
11		ishmeo 13889	. 2 |- ( `' F e. ( K Homeo J ) <-> ( `' F e. ( K Cn J ) /\ `' `' F e. ( J Cn K ) ) )
12	1, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Homeo J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   U.cuni 3811   `'ccnv 4627   Rel wrel 4633   -->wf 5214  (class class class)co 5877   Cn ccn 13770   Homeochmeo 13885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-top 13583  df-topon 13596  df-cn 13773  df-hmeo 13886

This theorem is referenced by:  hmeocnvb  13903