Theorem hmeocnvb 14905

Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocnvb	⊢ (Rel 𝐹 → (◡𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽)))

Proof of Theorem hmeocnvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnv 14894	. . 3 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽))
2		dfrel2 5152	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		eleq1 2270	. . . 4 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽)))
4	2, 3	sylbi 121	. . 3 ⊢ (Rel 𝐹 → (◡◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽)))
5	1, 4	imbitrid 154	. 2 ⊢ (Rel 𝐹 → (◡𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽)))
6		hmeocnv 14894	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽) → ◡𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
7	5, 6	impbid1 142	1 ⊢ (Rel 𝐹 → (◡𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ^◡ccnv 4692  Rel wrel 4698  (class class class)co 5967  Homeochmeo 14887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-top 14585  df-topon 14598  df-cn 14775  df-hmeo 14888

This theorem is referenced by: (None)