Theorem cnmptid 12641

Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmptid	|- ( ph -> ( x e. X |-> x ) e. ( J Cn J ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, J   x, X

Proof of Theorem cnmptid

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equcom 1686	. . . . . 6 |- ( x = y <-> y = x )
2	1	opabbii 4031	. . . . 5 |- { <. x , y >. | x = y } = { <. x , y >. | y = x }
3		df-id 4252	. . . . 5 |- _I = { <. x , y >. | x = y }
4		mptv 4061	. . . . 5 |- ( x e. _V |-> x ) = { <. x , y >. | y = x }
5	2, 3, 4	3eqtr4i 2188	. . . 4 |- _I = ( x e. _V |-> x )
6	5	reseq1i 4859	. . 3 |- ( _I |` X ) = ( ( x e. _V |-> x ) |` X )
7		ssv 3150	. . . 4 |- X C_ _V
8		resmpt 4911	. . . 4 |- ( X C_ _V -> ( ( x e. _V |-> x ) |` X ) = ( x e. X |-> x ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( x e. _V |-> x ) |` X ) = ( x e. X |-> x )
10	6, 9	eqtri 2178	. 2 |- ( _I |` X ) = ( x e. X |-> x )
11		cnmptid.j	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
12		idcn 12572	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
13	11, 12	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
14	10, 13	eqeltrrid 2245	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> x ) e. ( J Cn J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   C_ wss 3102   {copab 4024   |-> cmpt 4025   _I cid 4247   |` cres 4585   ` cfv 5167  (class class class)co 5818  TopOnctopon 12368   Cn ccn 12545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-map 6588  df-top 12356  df-topon 12369  df-cn 12548

This theorem is referenced by:  imasnopn  12659