Theorem cnmptid 13866

Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmptid	|- ( ph -> ( x e. X |-> x ) e. ( J Cn J ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, J   x, X

Proof of Theorem cnmptid

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equcom 1706	. . . . . 6 |- ( x = y <-> y = x )
2	1	opabbii 4072	. . . . 5 |- { <. x , y >. | x = y } = { <. x , y >. | y = x }
3		df-id 4295	. . . . 5 |- _I = { <. x , y >. | x = y }
4		mptv 4102	. . . . 5 |- ( x e. _V |-> x ) = { <. x , y >. | y = x }
5	2, 3, 4	3eqtr4i 2208	. . . 4 |- _I = ( x e. _V |-> x )
6	5	reseq1i 4905	. . 3 |- ( _I |` X ) = ( ( x e. _V |-> x ) |` X )
7		ssv 3179	. . . 4 |- X C_ _V
8		resmpt 4957	. . . 4 |- ( X C_ _V -> ( ( x e. _V |-> x ) |` X ) = ( x e. X |-> x ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( x e. _V |-> x ) |` X ) = ( x e. X |-> x )
10	6, 9	eqtri 2198	. 2 |- ( _I |` X ) = ( x e. X |-> x )
11		cnmptid.j	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
12		idcn 13797	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
13	11, 12	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
14	10, 13	eqeltrrid 2265	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> x ) e. ( J Cn J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   {copab 4065   |-> cmpt 4066   _I cid 4290   |` cres 4630   ` cfv 5218  (class class class)co 5877  TopOnctopon 13595   Cn ccn 13770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-top 13583  df-topon 13596  df-cn 13773

This theorem is referenced by:  imasnopn  13884