Theorem cnmptid 13075

Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmptid	|- ( ph -> ( x e. X |-> x ) e. ( J Cn J ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, J   x, X

Proof of Theorem cnmptid

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equcom 1699	. . . . . 6 |- ( x = y <-> y = x )
2	1	opabbii 4056	. . . . 5 |- { <. x , y >. | x = y } = { <. x , y >. | y = x }
3		df-id 4278	. . . . 5 |- _I = { <. x , y >. | x = y }
4		mptv 4086	. . . . 5 |- ( x e. _V |-> x ) = { <. x , y >. | y = x }
5	2, 3, 4	3eqtr4i 2201	. . . 4 |- _I = ( x e. _V |-> x )
6	5	reseq1i 4887	. . 3 |- ( _I |` X ) = ( ( x e. _V |-> x ) |` X )
7		ssv 3169	. . . 4 |- X C_ _V
8		resmpt 4939	. . . 4 |- ( X C_ _V -> ( ( x e. _V |-> x ) |` X ) = ( x e. X |-> x ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( x e. _V |-> x ) |` X ) = ( x e. X |-> x )
10	6, 9	eqtri 2191	. 2 |- ( _I |` X ) = ( x e. X |-> x )
11		cnmptid.j	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
12		idcn 13006	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
13	11, 12	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
14	10, 13	eqeltrrid 2258	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> x ) e. ( J Cn J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   {copab 4049   |-> cmpt 4050   _I cid 4273   |` cres 4613   ` cfv 5198  (class class class)co 5853  TopOnctopon 12802   Cn ccn 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-top 12790  df-topon 12803  df-cn 12982

This theorem is referenced by:  imasnopn  13093