Theorem cnmptid 14786

Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmptid	|- ( ph -> ( x e. X |-> x ) e. ( J Cn J ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, J   x, X

Proof of Theorem cnmptid

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equcom 1729	. . . . . 6 |- ( x = y <-> y = x )
2	1	opabbii 4112	. . . . 5 |- { <. x , y >. | x = y } = { <. x , y >. | y = x }
3		df-id 4341	. . . . 5 |- _I = { <. x , y >. | x = y }
4		mptv 4142	. . . . 5 |- ( x e. _V |-> x ) = { <. x , y >. | y = x }
5	2, 3, 4	3eqtr4i 2236	. . . 4 |- _I = ( x e. _V |-> x )
6	5	reseq1i 4956	. . 3 |- ( _I |` X ) = ( ( x e. _V |-> x ) |` X )
7		ssv 3215	. . . 4 |- X C_ _V
8		resmpt 5008	. . . 4 |- ( X C_ _V -> ( ( x e. _V |-> x ) |` X ) = ( x e. X |-> x ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( x e. _V |-> x ) |` X ) = ( x e. X |-> x )
10	6, 9	eqtri 2226	. 2 |- ( _I |` X ) = ( x e. X |-> x )
11		cnmptid.j	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
12		idcn 14717	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
13	11, 12	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
14	10, 13	eqeltrrid 2293	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> x ) e. ( J Cn J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   {copab 4105   |-> cmpt 4106   _I cid 4336   |` cres 4678   ` cfv 5272  (class class class)co 5946  TopOnctopon 14515   Cn ccn 14690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-map 6739  df-top 14503  df-topon 14516  df-cn 14693

This theorem is referenced by:  imasnopn  14804  expcn  15074