ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnmptid Unicode version

Theorem cnmptid 13652
Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptid  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X

Proof of Theorem cnmptid
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equcom 1706 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
21opabbii 4069 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  x  =  y }  =  { <. x ,  y
>.  |  y  =  x }
3 df-id 4292 . . . . 5  |-  _I  =  { <. x ,  y
>.  |  x  =  y }
4 mptv 4099 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  |->  x )  =  { <. x ,  y >.  |  y  =  x }
52, 3, 43eqtr4i 2208 . . . 4  |-  _I  =  ( x  e.  _V  |->  x )
65reseq1i 4902 . . 3  |-  (  _I  |`  X )  =  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )
7 ssv 3177 . . . 4  |-  X  C_  _V
8 resmpt 4954 . . . 4  |-  ( X 
C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x ) )
97, 8ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
106, 9eqtri 2198 . 2  |-  (  _I  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
11 cnmptid.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
12 idcn 13583 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1311, 12syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1410, 13eqeltrrid 2265 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    C_ wss 3129   {copab 4062    |-> cmpt 4063    _I cid 4287    |` cres 4627   ` cfv 5215  (class class class)co 5872  TopOnctopon 13379    Cn ccn 13556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6647  df-top 13367  df-topon 13380  df-cn 13559
This theorem is referenced by:  imasnopn  13670
  Copyright terms: Public domain W3C validator