ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  idcn GIF version

Theorem idcn 13682
Description: A restricted identity function is a continuous function. (Contributed by FL, 27-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
idcn (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem idcn
StepHypRef Expression
1 ssid 3175 . 2 𝐽 βŠ† 𝐽
2 ssidcn 13680 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝐽 βŠ† 𝐽))
32anidms 397 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝐽 βŠ† 𝐽))
41, 3mpbiri 168 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   βŠ† wss 3129   I cid 4288   β†Ύ cres 4628  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  TopOnctopon 13480   Cn ccn 13655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-top 13468  df-topon 13481  df-cn 13658
This theorem is referenced by:  cnmptid  13751  idhmeo  13787
  Copyright terms: Public domain W3C validator