Theorem lmbr 14936

Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a topological space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition F C_ ( CC X. X ) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 14913. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmbr.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
lmbr	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, u, F   u, J, y   ph, u   u, P   u, X, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   P( y)

Proof of Theorem lmbr

Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.2	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		lmfval 14916	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
4	3	breqd 4099	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> F { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } P ) )
5		reseq1 5007	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f |` y ) = ( F |` y ) )
6	5	feq1d 5469	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f |` y ) : y --> u <-> ( F |` y ) : y --> u ) )
7	6	rexbidv 2533	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u <-> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) )
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
9	8	ralbidv 2532	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
10		eleq1 2294	. . . . . . 7 |- ( x = P -> ( x e. u <-> P e. u ) )
11	10	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = P -> ( ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) <-> ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
12	11	ralbidv 2532	. . . . 5 |- ( x = P -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
13	9, 12	sylan9bb 462	. . . 4 |- ( ( f = F /\ x = P ) -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
14		df-3an 1006	. . . . 5 |- ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) <-> ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) )
15	14	opabbii 4156	. . . 4 |- { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } = { <. f , x >. | ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) }
16	13, 15	brab2a 4779	. . 3 |- ( F { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } P <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
17		df-3an 1006	. . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
18	16, 17	bitr4i 187	. 2 |- ( F { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
19	4, 18	bitrdi 196	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   class class class wbr 4088   {copab 4149   ran crn 4726   |` cres 4727   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ^pm cpm 6817   CCcc 8029   ZZ>=cuz 9754  TopOnctopon 14733   ~~> tclm 14910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pm 6819  df-top 14721  df-topon 14734  df-lm 14913

This theorem is referenced by:  lmbr2  14937  lmfpm  14966  lmcl  14968  lmff  14972