Theorem lmbr 14449

Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a topological space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition F C_ ( CC X. X ) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 14426. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmbr.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
lmbr	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, u, F   u, J, y   ph, u   u, P   u, X, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   P( y)

Proof of Theorem lmbr

Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.2	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		lmfval 14428	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
4	3	breqd 4044	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> F { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } P ) )
5		reseq1 4940	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f |` y ) = ( F |` y ) )
6	5	feq1d 5394	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f |` y ) : y --> u <-> ( F |` y ) : y --> u ) )
7	6	rexbidv 2498	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u <-> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) )
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
9	8	ralbidv 2497	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
10		eleq1 2259	. . . . . . 7 |- ( x = P -> ( x e. u <-> P e. u ) )
11	10	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = P -> ( ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) <-> ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
12	11	ralbidv 2497	. . . . 5 |- ( x = P -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
13	9, 12	sylan9bb 462	. . . 4 |- ( ( f = F /\ x = P ) -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
14		df-3an 982	. . . . 5 |- ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) <-> ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) )
15	14	opabbii 4100	. . . 4 |- { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } = { <. f , x >. | ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) }
16	13, 15	brab2a 4716	. . 3 |- ( F { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } P <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
17		df-3an 982	. . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
18	16, 17	bitr4i 187	. 2 |- ( F { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
19	4, 18	bitrdi 196	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   class class class wbr 4033   {copab 4093   ran crn 4664   |` cres 4665   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   ^pm cpm 6708   CCcc 7877   ZZ>=cuz 9601  TopOnctopon 14246   ~~> tclm 14423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pm 6710  df-top 14234  df-topon 14247  df-lm 14426

This theorem is referenced by:  lmbr2  14450  lmfpm  14479  lmcl  14481  lmff  14485