Theorem lmbr 12163

Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a topological space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition F C_ ( CC X. X ) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 12141. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmbr.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
lmbr	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, u, F   u, J, y   ph, u   u, P   u, X, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   P( y)

Proof of Theorem lmbr

Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.2	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		lmfval 12143	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
4	3	breqd 3886	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> F { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } P ) )
5		reseq1 4749	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f |` y ) = ( F |` y ) )
6	5	feq1d 5195	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f |` y ) : y --> u <-> ( F |` y ) : y --> u ) )
7	6	rexbidv 2397	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u <-> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) )
8	7	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
9	8	ralbidv 2396	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
10		eleq1 2162	. . . . . . 7 |- ( x = P -> ( x e. u <-> P e. u ) )
11	10	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( x = P -> ( ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) <-> ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
12	11	ralbidv 2396	. . . . 5 |- ( x = P -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
13	9, 12	sylan9bb 453	. . . 4 |- ( ( f = F /\ x = P ) -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
14		df-3an 932	. . . . 5 |- ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) <-> ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) )
15	14	opabbii 3935	. . . 4 |- { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } = { <. f , x >. | ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) }
16	13, 15	brab2a 4530	. . 3 |- ( F { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } P <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
17		df-3an 932	. . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
18	16, 17	bitr4i 186	. 2 |- ( F { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
19	4, 18	syl6bb 195	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 930   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   class class class wbr 3875   {copab 3928   ran crn 4478   |` cres 4479   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   ^pm cpm 6473   CCcc 7498   ZZ>=cuz 9176  TopOnctopon 11959   ~~> tclm 12138

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-cnex 7586

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pm 6475  df-top 11947  df-topon 11960  df-lm 12141

This theorem is referenced by:  lmbr2  12164  lmfpm  12193  lmcl  12195  lmff  12199