Theorem lmbr 14381

Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a topological space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition F C_ ( CC X. X ) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 14358. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmbr.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
lmbr	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, u, F   u, J, y   ph, u   u, P   u, X, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   P( y)

Proof of Theorem lmbr

Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.2	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		lmfval 14360	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
4	3	breqd 4040	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> F { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } P ) )
5		reseq1 4936	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f |` y ) = ( F |` y ) )
6	5	feq1d 5390	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f |` y ) : y --> u <-> ( F |` y ) : y --> u ) )
7	6	rexbidv 2495	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u <-> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) )
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
9	8	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
10		eleq1 2256	. . . . . . 7 |- ( x = P -> ( x e. u <-> P e. u ) )
11	10	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = P -> ( ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) <-> ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
12	11	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( x = P -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
13	9, 12	sylan9bb 462	. . . 4 |- ( ( f = F /\ x = P ) -> ( A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
14		df-3an 982	. . . . 5 |- ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) <-> ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) )
15	14	opabbii 4096	. . . 4 |- { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } = { <. f , x >. | ( ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X ) /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) }
16	13, 15	brab2a 4712	. . 3 |- ( F { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } P <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
17		df-3an 982	. . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
18	16, 17	bitr4i 187	. 2 |- ( F { <. f , x >. | ( f e. ( X ^pm CC ) /\ x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
19	4, 18	bitrdi 196	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   class class class wbr 4029   {copab 4089   ran crn 4660   |` cres 4661   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   ^pm cpm 6703   CCcc 7870   ZZ>=cuz 9592  TopOnctopon 14178   ~~> tclm 14355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pm 6705  df-top 14166  df-topon 14179  df-lm 14358

This theorem is referenced by:  lmbr2  14382  lmfpm  14411  lmcl  14413  lmff  14417