Theorem ismgmn0 13621

Description: The predicate "is a magma" for a structure with a nonempty base set. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismgmn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
ismgmn0.o	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ismgmn0	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, ⚬ ,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ismgmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13355	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
2		fnrel 5459	. . . . . 6 ⊢ (Base Fn V → Rel Base)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel Base
4		relelfvdm 5707	. . . . 5 ⊢ ((Rel Base ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom Base)
5	3, 4	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom Base)
6		ismgmn0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7	5, 6	eleq2s 2329	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ dom Base)
8	7	elexd 2829	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ V)
9		ismgmn0.o	. . 3 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
10	6, 9	ismgm 13620	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ V → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))
11	8, 10	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  Vcvv 2815  dom cdm 4754  Rel wrel 4759   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296  +_gcplusg 13374  Mgmcmgm 13617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mgm 13619

This theorem is referenced by:  mgm1  13633  opifismgmdc  13634  issgrpn0  13668