Theorem ismgmn0 13428

Description: The predicate "is a magma" for a structure with a nonempty base set. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismgmn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
ismgmn0.o	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ismgmn0	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, ⚬ ,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ismgmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13128	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
2		fnrel 5423	. . . . . 6 ⊢ (Base Fn V → Rel Base)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel Base
4		relelfvdm 5665	. . . . 5 ⊢ ((Rel Base ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom Base)
5	3, 4	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom Base)
6		ismgmn0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7	5, 6	eleq2s 2324	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ dom Base)
8	7	elexd 2814	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ V)
9		ismgmn0.o	. . 3 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
10	6, 9	ismgm 13427	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ V → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))
11	8, 10	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2800  dom cdm 4721  Rel wrel 4726   Fn wfn 5317  ‘cfv 5322  (class class class)co 6011  Basecbs 13069  +_gcplusg 13147  Mgmcmgm 13424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1re 8114  ax-addrcl 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-fv 5330  df-ov 6014  df-inn 9132  df-2 9190  df-ndx 13072  df-slot 13073  df-base 13075  df-plusg 13160  df-mgm 13426

This theorem is referenced by:  mgm1  13440  opifismgmdc  13441  issgrpn0  13475