ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ismgmn0 GIF version

Theorem ismgmn0 12656
Description: The predicate "is a magma" for a structure with a nonempty base set. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ismgmn0.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
ismgmn0.o = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
ismgmn0 (𝐴𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ismgmn0
StepHypRef Expression
1 basfn 12489 . . . . . 6 Base Fn V
2 fnrel 5309 . . . . . 6 (Base Fn V → Rel Base)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 Rel Base
4 relelfvdm 5542 . . . . 5 ((Rel Base ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom Base)
53, 4mpan 424 . . . 4 (𝐴 ∈ (Base‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom Base)
6 ismgmn0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
75, 6eleq2s 2272 . . 3 (𝐴𝐵𝑀 ∈ dom Base)
87elexd 2750 . 2 (𝐴𝐵𝑀 ∈ V)
9 ismgmn0.o . . 3 = (+g𝑀)
106, 9ismgm 12655 . 2 (𝑀 ∈ V → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵))
118, 10syl 14 1 (𝐴𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  Vcvv 2737  dom cdm 4622  Rel wrel 4627   Fn wfn 5206  cfv 5211  (class class class)co 5868  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  Mgmcmgm 12652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-fv 5219  df-ov 5871  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-mgm 12654
This theorem is referenced by:  mgm1  12668  opifismgmdc  12669  issgrpn0  12690
  Copyright terms: Public domain W3C validator