Theorem ismgmn0 13440

Description: The predicate "is a magma" for a structure with a nonempty base set. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismgmn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
ismgmn0.o	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ismgmn0	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, ⚬ ,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ismgmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13140	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
2		fnrel 5428	. . . . . 6 ⊢ (Base Fn V → Rel Base)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel Base
4		relelfvdm 5671	. . . . 5 ⊢ ((Rel Base ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom Base)
5	3, 4	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom Base)
6		ismgmn0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7	5, 6	eleq2s 2326	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ dom Base)
8	7	elexd 2816	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ V)
9		ismgmn0.o	. . 3 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
10	6, 9	ismgm 13439	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ V → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))
11	8, 10	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ⚬ 𝑦) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  Vcvv 2802  dom cdm 4725  Rel wrel 4730   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  Basecbs 13081  +_gcplusg 13159  Mgmcmgm 13436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mgm 13438

This theorem is referenced by:  mgm1  13452  opifismgmdc  13453  issgrpn0  13487