Theorem isnsg4 13946

Description: A subgroup is normal iff its normalizer is the entire group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elnmz.1	|- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }
nmzsubg.2	|- X = ( Base ` G )
nmzsubg.3	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg4	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N = X ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, S, y   x, .+ , y   x, X, y

Allowed substitution hints:   N( x, y)

Proof of Theorem isnsg4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmzsubg.2	. . 3 |- X = ( Base ` G )
2		nmzsubg.3	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	isnsg 13936	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
4		eqcom 2236	. . . 4 |- ( N = X <-> X = N )
5		elnmz.1	. . . . 5 |- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }
6	5	eqeq2i 2245	. . . 4 |- ( X = N <-> X = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) } )
7		rabid2 2723	. . . 4 |- ( X = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) } <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) )
8	4, 6, 7	3bitri 206	. . 3 |- ( N = X <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) )
9	8	anbi2i 457	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N = X ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
10	3, 9	bitr4i 187	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N = X ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Basecbs 13229   +g cplusg 13307  SubGrpcsubg 13901  NrmSGrpcnsg 13902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-ov 6055  df-inn 9240  df-2 9298  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-subg 13904  df-nsg 13905

This theorem is referenced by:  conjnsg  14015