Theorem isnsg4 13929

Description: A subgroup is normal iff its normalizer is the entire group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elnmz.1	|- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }
nmzsubg.2	|- X = ( Base ` G )
nmzsubg.3	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg4	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N = X ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, S, y   x, .+ , y   x, X, y

Allowed substitution hints:   N( x, y)

Proof of Theorem isnsg4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmzsubg.2	. . 3 |- X = ( Base ` G )
2		nmzsubg.3	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	isnsg 13919	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
4		eqcom 2234	. . . 4 |- ( N = X <-> X = N )
5		elnmz.1	. . . . 5 |- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }
6	5	eqeq2i 2243	. . . 4 |- ( X = N <-> X = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) } )
7		rabid2 2721	. . . 4 |- ( X = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) } <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) )
8	4, 6, 7	3bitri 206	. . 3 |- ( N = X <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) )
9	8	anbi2i 457	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N = X ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
10	3, 9	bitr4i 187	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N = X ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290  SubGrpcsubg 13884  NrmSGrpcnsg 13885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-subg 13887  df-nsg 13888

This theorem is referenced by:  conjnsg  13998