Theorem isnsg4 13992

Description: A subgroup is normal iff its normalizer is the entire group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elnmz.1	|- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }
nmzsubg.2	|- X = ( Base ` G )
nmzsubg.3	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg4	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N = X ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, S, y   x, .+ , y   x, X, y

Allowed substitution hints:   N( x, y)

Proof of Theorem isnsg4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmzsubg.2	. . 3 |- X = ( Base ` G )
2		nmzsubg.3	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	isnsg 13982	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
4		eqcom 2240	. . . 4 |- ( N = X <-> X = N )
5		elnmz.1	. . . . 5 |- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }
6	5	eqeq2i 2249	. . . 4 |- ( X = N <-> X = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) } )
7		rabid2 2729	. . . 4 |- ( X = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) } <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) )
8	4, 6, 7	3bitri 206	. . 3 |- ( N = X <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) )
9	8	anbi2i 461	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N = X ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
10	3, 9	bitr4i 187	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N = X ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408  SubGrpcsubg 13947  NrmSGrpcnsg 13948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-subg 13950  df-nsg 13951

This theorem is referenced by:  conjnsg  14061