Theorem conjnsg 14084

Description: A normal subgroup is unchanged under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
conjghm.x	|- X = ( Base ` G )
conjghm.p	|- .+ = ( +g ` G )
conjghm.m	|- .- = ( -g ` G )
conjsubg.f	|- F = ( x e. S |-> ( ( A .+ x ) .- A ) )

Assertion

Ref	Expression
conjnsg	|- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ A e. X ) -> S = ran F )

Distinct variable groups:   x, .-   x, .+   x, A   x, G   x, S   x, X

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem conjnsg

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 14008	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		eqid 2238	. . . . . 6 |- { y e. X | A. z e. X ( ( y .+ z ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) } = { y e. X | A. z e. X ( ( y .+ z ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) }
3		conjghm.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
4		conjghm.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
5	2, 3, 4	isnsg4 14015	. . . . 5 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ { y e. X | A. z e. X ( ( y .+ z ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) } = X ) )
6	5	simprbi 275	. . . 4 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> { y e. X | A. z e. X ( ( y .+ z ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) } = X )
7	6	eleq2d 2308	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> ( A e. { y e. X | A. z e. X ( ( y .+ z ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) } <-> A e. X ) )
8	7	biimpar 297	. 2 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ A e. X ) -> A e. { y e. X | A. z e. X ( ( y .+ z ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) } )
9		conjghm.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
10		conjsubg.f	. . 3 |- F = ( x e. S |-> ( ( A .+ x ) .- A ) )
11	3, 4, 9, 10, 2	conjnmz 14082	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. { y e. X | A. z e. X ( ( y .+ z ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) } ) -> S = ran F )
12	1, 8, 11	syl2an2r 603	1 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ A e. X ) -> S = ran F )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   |-> cmpt 4192   ran crn 4775   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   -gcsg 13807  SubGrpcsubg 13970  NrmSGrpcnsg 13971

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-sbg 13810  df-subg 13973  df-nsg 13974

This theorem is used by: (None)