Theorem conjnsg 13732

Description: A normal subgroup is unchanged under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
conjghm.x	|- X = ( Base ` G )
conjghm.p	|- .+ = ( +g ` G )
conjghm.m	|- .- = ( -g ` G )
conjsubg.f	|- F = ( x e. S |-> ( ( A .+ x ) .- A ) )

Assertion

Ref	Expression
conjnsg	|- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ A e. X ) -> S = ran F )

Distinct variable groups:   x, .-   x, .+   x, A   x, G   x, S   x, X

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem conjnsg

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13656	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		eqid 2207	. . . . . 6 |- { y e. X | A. z e. X ( ( y .+ z ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) } = { y e. X | A. z e. X ( ( y .+ z ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) }
3		conjghm.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
4		conjghm.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
5	2, 3, 4	isnsg4 13663	. . . . 5 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ { y e. X | A. z e. X ( ( y .+ z ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) } = X ) )
6	5	simprbi 275	. . . 4 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> { y e. X | A. z e. X ( ( y .+ z ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) } = X )
7	6	eleq2d 2277	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> ( A e. { y e. X | A. z e. X ( ( y .+ z ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) } <-> A e. X ) )
8	7	biimpar 297	. 2 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ A e. X ) -> A e. { y e. X | A. z e. X ( ( y .+ z ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) } )
9		conjghm.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
10		conjsubg.f	. . 3 |- F = ( x e. S |-> ( ( A .+ x ) .- A ) )
11	3, 4, 9, 10, 2	conjnmz 13730	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. { y e. X | A. z e. X ( ( y .+ z ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) } ) -> S = ran F )
12	1, 8, 11	syl2an2r 595	1 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ A e. X ) -> S = ran F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   {crab 2490   |-> cmpt 4121   ran crn 4694   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   -gcsg 13449  SubGrpcsubg 13618  NrmSGrpcnsg 13619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-sbg 13452  df-subg 13621  df-nsg 13622

This theorem is referenced by: (None)