Theorem ixxex 10056

Description: The set of intervals of extended reals exists. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})

Assertion

Ref	Expression
ixxex	⊢ 𝑂 ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrex 10013	. . . 4 ⊢ ℝ* ∈ V
2	1, 1	xpex 4808	. . 3 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
3	1	pwex 4243	. . 3 ⊢ 𝒫 ℝ* ∈ V
4	2, 3	xpex 4808	. 2 ⊢ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*) ∈ V
5		ixx.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
6	5	ixxf 10055	. . 3 ⊢ 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
7		fssxp 5463	. . 3 ⊢ (𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ* → 𝑂 ⊆ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑂 ⊆ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*)
9	4, 8	ssexi 4198	1 ⊢ 𝑂 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  {crab 2490  Vcvv 2776   ⊆ wss 3174  𝒫 cpw 3626   class class class wbr 4059   × cxp 4691  ⟶wf 5286   ∈ cmpo 5969  ℝ^*cxr 8141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146

This theorem is referenced by:  iooex  10064