Theorem limom 4615

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
limom	⊢ Lim ω

Proof of Theorem limom

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 4608	. 2 ⊢ Ord ω
2		peano1 4595	. 2 ⊢ ∅ ∈ ω
3		vex 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	sucex 4500	. . . . . . . 8 ⊢ suc 𝑥 ∈ V
5	4	isseti 2747	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑧 𝑧 = suc 𝑥
6		peano2 4596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ω → suc 𝑥 ∈ ω)
7	3	sucid 4419	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ suc 𝑥
8	6, 7	jctil 312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ suc 𝑥 ∧ suc 𝑥 ∈ ω))
9		eleq2 2241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = suc 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ suc 𝑥))
10		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = suc 𝑥 → (𝑧 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω))
11	9, 10	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = suc 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ω) ↔ (𝑥 ∈ suc 𝑥 ∧ suc 𝑥 ∈ ω)))
12	8, 11	imbitrrid 156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ω)))
13	5, 12	eximii 1602	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑧(𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ω))
14	13	19.37aiv 1675	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ∃𝑧(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ω))
15		eluni 3814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ ω ↔ ∃𝑧(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ω))
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ ∪ ω)
17	16	ssriv 3161	. . 3 ⊢ ω ⊆ ∪ ω
18		orduniss 4427	. . . 4 ⊢ (Ord ω → ∪ ω ⊆ ω)
19	1, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∪ ω ⊆ ω
20	17, 19	eqssi 3173	. 2 ⊢ ω = ∪ ω
21		dflim2 4372	. 2 ⊢ (Lim ω ↔ (Ord ω ∧ ∅ ∈ ω ∧ ω = ∪ ω))
22	1, 2, 20, 21	mpbir3an 1179	1 ⊢ Lim ω

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3131  ∅c0 3424  ∪ cuni 3811  Ord word 4364  Lim wlim 4366  suc csuc 4367  ωcom 4591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-int 3847  df-tr 4104  df-iord 4368  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592

This theorem is referenced by:  freccllem  6405  frecfcllem  6407  frecsuclem  6409