Theorem lmcl 14750

Description: Closure of a limit. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
lmcl	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> P e. X )

Proof of Theorem lmcl

Dummy variables y u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
2	1	lmbr 14718	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) ) )
3	2	biimpa 296	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
4	3	simp2d 1013	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> P e. X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   class class class wbr 4045   ran crn 4677   |` cres 4678   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   ^pm cpm 6738   CCcc 7925   ZZ>=cuz 9650  TopOnctopon 14515   ~~> tclm 14692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-cnex 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pm 6740  df-top 14503  df-topon 14516  df-lm 14695

This theorem is referenced by:  lmss  14751  lmff  14754  lmcn  14756