Theorem lmcn 14974

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcnp.3	|- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcn.4	|- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
lmcn	|- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )

Proof of Theorem lmcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcnp.3	. 2 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
2		lmcn.4	. . 3 |- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
3		cntop2 14925	. . 3 |- ( G e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> K e. Top )
5		cntop1 14924	. . . . . 6 |- ( G e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
6	2, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Top )
7		toptopon2 14742	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
8	6, 7	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
9		lmcl 14968	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> P e. U. J )
10	8, 1, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> P e. U. J )
11		eqid 2231	. . . 4 |- U. J = U. J
12	11	cncnpi 14951	. . 3 |- ( ( G e. ( J Cn K ) /\ P e. U. J ) -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
13	2, 10, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
14	1, 4, 13	lmtopcnp 14973	1 |- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   U.cuni 3893   class class class wbr 4088   o. ccom 4729   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Topctop 14720  TopOnctopon 14733   Cn ccn 14908   CnP ccnp 14909   ~~> tclm 14910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-map 6818  df-pm 6819  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-top 14721  df-topon 14734  df-cn 14911  df-cnp 14912  df-lm 14913

This theorem is referenced by:  lmcn2  15003