Theorem lmcn 15045

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcnp.3	|- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcn.4	|- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
lmcn	|- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )

Proof of Theorem lmcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcnp.3	. 2 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
2		lmcn.4	. . 3 |- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
3		cntop2 14996	. . 3 |- ( G e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> K e. Top )
5		cntop1 14995	. . . . . 6 |- ( G e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
6	2, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Top )
7		toptopon2 14813	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
8	6, 7	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
9		lmcl 15039	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> P e. U. J )
10	8, 1, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> P e. U. J )
11		eqid 2231	. . . 4 |- U. J = U. J
12	11	cncnpi 15022	. . 3 |- ( ( G e. ( J Cn K ) /\ P e. U. J ) -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
13	2, 10, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
14	1, 4, 13	lmtopcnp 15044	1 |- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   U.cuni 3898   class class class wbr 4093   o. ccom 4735   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Topctop 14791  TopOnctopon 14804   Cn ccn 14979   CnP ccnp 14980   ~~> tclm 14981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-pm 6863  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-top 14792  df-topon 14805  df-cn 14982  df-cnp 14983  df-lm 14984

This theorem is referenced by:  lmcn2  15074