Theorem lmcn 12420

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcnp.3	|- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcn.4	|- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
lmcn	|- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )

Proof of Theorem lmcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcnp.3	. 2 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
2		lmcn.4	. . 3 |- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
3		cntop2 12371	. . 3 |- ( G e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> K e. Top )
5		cntop1 12370	. . . . . 6 |- ( G e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
6	2, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Top )
7		toptopon2 12186	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
8	6, 7	sylib 121	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
9		lmcl 12414	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> P e. U. J )
10	8, 1, 9	syl2anc 408	. . 3 |- ( ph -> P e. U. J )
11		eqid 2139	. . . 4 |- U. J = U. J
12	11	cncnpi 12397	. . 3 |- ( ( G e. ( J Cn K ) /\ P e. U. J ) -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
13	2, 10, 12	syl2anc 408	. 2 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
14	1, 4, 13	lmtopcnp 12419	1 |- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   U.cuni 3736   class class class wbr 3929   o. ccom 4543   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   Cn ccn 12354   CnP ccnp 12355   ~~> tclm 12356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pm 6545  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-top 12165  df-topon 12178  df-cn 12357  df-cnp 12358  df-lm 12359

This theorem is referenced by:  lmcn2  12449