Theorem lmcn 15477

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcnp.3	|- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcn.4	|- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
lmcn	|- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )

Proof of Theorem lmcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcnp.3	. 2 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
2		lmcn.4	. . 3 |- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
3		cntop2 15428	. . 3 |- ( G e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> K e. Top )
5		cntop1 15427	. . . . . 6 |- ( G e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
6	2, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Top )
7		toptopon2 15245	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
8	6, 7	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
9		lmcl 15471	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> P e. U. J )
10	8, 1, 9	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> P e. U. J )
11		eqid 2238	. . . 4 |- U. J = U. J
12	11	cncnpi 15454	. . 3 |- ( ( G e. ( J Cn K ) /\ P e. U. J ) -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
13	2, 10, 12	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
14	1, 4, 13	lmtopcnp 15476	1 |- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   U.cuni 3935   class class class wbr 4131   o. ccom 4780   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Topctop 15223  TopOnctopon 15236   Cn ccn 15411   CnP ccnp 15412   ~~> tclm 15413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-pm 6929  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-top 15224  df-topon 15237  df-cn 15414  df-cnp 15415  df-lm 15416

This theorem is used by:  lmcn2  15506