Theorem lmcn 14419

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcnp.3	|- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcn.4	|- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
lmcn	|- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )

Proof of Theorem lmcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcnp.3	. 2 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
2		lmcn.4	. . 3 |- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
3		cntop2 14370	. . 3 |- ( G e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> K e. Top )
5		cntop1 14369	. . . . . 6 |- ( G e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
6	2, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Top )
7		toptopon2 14187	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
8	6, 7	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
9		lmcl 14413	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> P e. U. J )
10	8, 1, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> P e. U. J )
11		eqid 2193	. . . 4 |- U. J = U. J
12	11	cncnpi 14396	. . 3 |- ( ( G e. ( J Cn K ) /\ P e. U. J ) -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
13	2, 10, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
14	1, 4, 13	lmtopcnp 14418	1 |- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   U.cuni 3835   class class class wbr 4029   o. ccom 4663   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Topctop 14165  TopOnctopon 14178   Cn ccn 14353   CnP ccnp 14354   ~~> tclm 14355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-pm 6705  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-top 14166  df-topon 14179  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-lm 14358

This theorem is referenced by:  lmcn2  14448