Theorem lmodsubeq0 14310

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubeq0.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubeq0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lmodsubeq0.m	|- .- = ( -g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubeq0	|- ( ( W e. LMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( ( A .- B ) = .0. <-> A = B ) )

Proof of Theorem lmodsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 14258	. 2 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
2		lmodsubeq0.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		lmodsubeq0.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
4		lmodsubeq0.m	. . 3 |- .- = ( -g ` W )
5	2, 3, 4	grpsubeq0 13619	. 2 |- ( ( W e. Grp /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( ( A .- B ) = .0. <-> A = B ) )
6	1, 5	syl3an1 1304	1 |- ( ( W e. LMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( ( A .- B ) = .0. <-> A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   0gc0g 13289   Grpcgrp 13533   -gcsg 13535   LModclmod 14251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-sca 13126  df-vsca 13127  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-sbg 13538  df-lmod 14253

This theorem is referenced by: (None)