Theorem lmodsubeq0 14141

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubeq0.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubeq0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lmodsubeq0.m	|- .- = ( -g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubeq0	|- ( ( W e. LMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( ( A .- B ) = .0. <-> A = B ) )

Proof of Theorem lmodsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 14089	. 2 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
2		lmodsubeq0.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		lmodsubeq0.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
4		lmodsubeq0.m	. . 3 |- .- = ( -g ` W )
5	2, 3, 4	grpsubeq0 13451	. 2 |- ( ( W e. Grp /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( ( A .- B ) = .0. <-> A = B ) )
6	1, 5	syl3an1 1283	1 |- ( ( W e. LMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( ( A .- B ) = .0. <-> A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Basecbs 12865   0gc0g 13121   Grpcgrp 13365   -gcsg 13367   LModclmod 14082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1re 8021  ax-addrcl 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-5 9100  df-6 9101  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-sca 12958  df-vsca 12959  df-0g 13123  df-mgm 13221  df-sgrp 13267  df-mnd 13282  df-grp 13368  df-minusg 13369  df-sbg 13370  df-lmod 14084

This theorem is referenced by: (None)