Theorem lmodsubdir 14358

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdir.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubdir.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodsubdir.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsubdir.k	|- K = ( Base ` F )
lmodsubdir.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodsubdir.s	|- S = ( -g ` F )
lmodsubdir.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodsubdir.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodsubdir.b	|- ( ph -> B e. K )
lmodsubdir.x	|- ( ph -> X e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdir	|- ( ph -> ( ( A S B ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) .- ( B .x. X ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdir.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodsubdir.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. K )
3		lmodsubdir.f	. . . . . . . 8 |- F = (Scalar ` W )
4	3	lmodring 14308	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. Ring )
6		ringgrp 14013	. . . . . 6 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F e. Grp )
8		lmodsubdir.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. K )
9		lmodsubdir.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
10		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( invg ` F ) = ( invg ` F )
11	9, 10	grpinvcl 13630	. . . . 5 |- ( ( F e. Grp /\ B e. K ) -> ( ( invg ` F ) ` B ) e. K )
12	7, 8, 11	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( invg ` F ) ` B ) e. K )
13		lmodsubdir.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
14		lmodsubdir.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
15		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
16		lmodsubdir.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
17		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
18	14, 15, 3, 16, 9, 17	lmodvsdir 14325	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( A e. K /\ ( ( invg ` F ) ` B ) e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) ) )
19	1, 2, 12, 13, 18	syl13anc 1275	. . 3 |- ( ph -> ( ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) ) )
20		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
21		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
22	9, 20, 21, 10, 5, 8	ringnegl 14063	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) B ) = ( ( invg ` F ) ` B ) )
23	22	oveq1d 6032	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) B ) .x. X ) = ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) )
24	9, 21	ringidcl 14032	. . . . . . . 8 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
25	5, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
26	9, 10	grpinvcl 13630	. . . . . . 7 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
27	7, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
28	14, 3, 16, 9, 20	lmodvsass 14326	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ B e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) B ) .x. X ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) )
29	1, 27, 8, 13, 28	syl13anc 1275	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) B ) .x. X ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) )
30	23, 29	eqtr3d 2266	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) )
31	30	oveq2d 6033	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) ) )
32	19, 31	eqtrd 2264	. 2 |- ( ph -> ( ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) ) )
33		lmodsubdir.s	. . . . 5 |- S = ( -g ` F )
34	9, 17, 10, 33	grpsubval 13628	. . . 4 |- ( ( A e. K /\ B e. K ) -> ( A S B ) = ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) )
35	2, 8, 34	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( A S B ) = ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) )
36	35	oveq1d 6032	. 2 |- ( ph -> ( ( A S B ) .x. X ) = ( ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) .x. X ) )
37	14, 3, 16, 9	lmodvscl 14318	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
38	1, 2, 13, 37	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. V )
39	14, 3, 16, 9	lmodvscl 14318	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ B e. K /\ X e. V ) -> ( B .x. X ) e. V )
40	1, 8, 13, 39	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> ( B .x. X ) e. V )
41		lmodsubdir.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
42	14, 15, 41, 3, 16, 10, 21	lmodvsubval2 14355	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( A .x. X ) e. V /\ ( B .x. X ) e. V ) -> ( ( A .x. X ) .- ( B .x. X ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) ) )
43	1, 38, 40, 42	syl3anc 1273	. 2 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .- ( B .x. X ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) ) )
44	32, 36, 43	3eqtr4d 2274	1 |- ( ph -> ( ( A S B ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) .- ( B .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160  Scalarcsca 13162   .scvsca 13163   Grpcgrp 13582   invgcminusg 13583   -gcsg 13584   1rcur 13971   Ringcrg 14008   LModclmod 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-sbg 13587  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-lmod 14302

This theorem is referenced by: (None)