Theorem lmodsubdir 14303

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdir.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubdir.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodsubdir.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsubdir.k	|- K = ( Base ` F )
lmodsubdir.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodsubdir.s	|- S = ( -g ` F )
lmodsubdir.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodsubdir.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodsubdir.b	|- ( ph -> B e. K )
lmodsubdir.x	|- ( ph -> X e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdir	|- ( ph -> ( ( A S B ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) .- ( B .x. X ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdir.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodsubdir.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. K )
3		lmodsubdir.f	. . . . . . . 8 |- F = (Scalar ` W )
4	3	lmodring 14253	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. Ring )
6		ringgrp 13959	. . . . . 6 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F e. Grp )
8		lmodsubdir.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. K )
9		lmodsubdir.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
10		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( invg ` F ) = ( invg ` F )
11	9, 10	grpinvcl 13576	. . . . 5 |- ( ( F e. Grp /\ B e. K ) -> ( ( invg ` F ) ` B ) e. K )
12	7, 8, 11	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( invg ` F ) ` B ) e. K )
13		lmodsubdir.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
14		lmodsubdir.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
15		eqid 2229	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
16		lmodsubdir.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
17		eqid 2229	. . . . 5 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
18	14, 15, 3, 16, 9, 17	lmodvsdir 14270	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( A e. K /\ ( ( invg ` F ) ` B ) e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) ) )
19	1, 2, 12, 13, 18	syl13anc 1273	. . 3 |- ( ph -> ( ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) ) )
20		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
21		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
22	9, 20, 21, 10, 5, 8	ringnegl 14009	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) B ) = ( ( invg ` F ) ` B ) )
23	22	oveq1d 6015	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) B ) .x. X ) = ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) )
24	9, 21	ringidcl 13978	. . . . . . . 8 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
25	5, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
26	9, 10	grpinvcl 13576	. . . . . . 7 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
27	7, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
28	14, 3, 16, 9, 20	lmodvsass 14271	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ B e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) B ) .x. X ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) )
29	1, 27, 8, 13, 28	syl13anc 1273	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) B ) .x. X ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) )
30	23, 29	eqtr3d 2264	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) )
31	30	oveq2d 6016	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) ) )
32	19, 31	eqtrd 2262	. 2 |- ( ph -> ( ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) ) )
33		lmodsubdir.s	. . . . 5 |- S = ( -g ` F )
34	9, 17, 10, 33	grpsubval 13574	. . . 4 |- ( ( A e. K /\ B e. K ) -> ( A S B ) = ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) )
35	2, 8, 34	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( A S B ) = ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) )
36	35	oveq1d 6015	. 2 |- ( ph -> ( ( A S B ) .x. X ) = ( ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) .x. X ) )
37	14, 3, 16, 9	lmodvscl 14263	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
38	1, 2, 13, 37	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. V )
39	14, 3, 16, 9	lmodvscl 14263	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ B e. K /\ X e. V ) -> ( B .x. X ) e. V )
40	1, 8, 13, 39	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( B .x. X ) e. V )
41		lmodsubdir.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
42	14, 15, 41, 3, 16, 10, 21	lmodvsubval2 14300	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( A .x. X ) e. V /\ ( B .x. X ) e. V ) -> ( ( A .x. X ) .- ( B .x. X ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) ) )
43	1, 38, 40, 42	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .- ( B .x. X ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) ) )
44	32, 36, 43	3eqtr4d 2272	1 |- ( ph -> ( ( A S B ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) .- ( B .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   .rcmulr 13106  Scalarcsca 13108   .scvsca 13109   Grpcgrp 13528   invgcminusg 13529   -gcsg 13530   1rcur 13917   Ringcrg 13954   LModclmod 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-sbg 13533  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-ring 13956  df-lmod 14247

This theorem is referenced by: (None)