Theorem lmodsubdir 14654

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdir.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubdir.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodsubdir.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsubdir.k	|- K = ( Base ` F )
lmodsubdir.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodsubdir.s	|- S = ( -g ` F )
lmodsubdir.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodsubdir.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodsubdir.b	|- ( ph -> B e. K )
lmodsubdir.x	|- ( ph -> X e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdir	|- ( ph -> ( ( A S B ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) .- ( B .x. X ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdir.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodsubdir.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. K )
3		lmodsubdir.f	. . . . . . . 8 |- F = (Scalar ` W )
4	3	lmodring 14604	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. Ring )
6		ringgrp 14279	. . . . . 6 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F e. Grp )
8		lmodsubdir.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. K )
9		lmodsubdir.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
10		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( invg ` F ) = ( invg ` F )
11	9, 10	grpinvcl 13830	. . . . 5 |- ( ( F e. Grp /\ B e. K ) -> ( ( invg ` F ) ` B ) e. K )
12	7, 8, 11	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( ( invg ` F ) ` B ) e. K )
13		lmodsubdir.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
14		lmodsubdir.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
15		eqid 2238	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
16		lmodsubdir.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
17		eqid 2238	. . . . 5 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
18	14, 15, 3, 16, 9, 17	lmodvsdir 14621	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( A e. K /\ ( ( invg ` F ) ` B ) e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) ) )
19	1, 2, 12, 13, 18	syl13anc 1280	. . 3 |- ( ph -> ( ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) ) )
20		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
21		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
22	9, 20, 21, 10, 5, 8	ringnegl 14329	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) B ) = ( ( invg ` F ) ` B ) )
23	22	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) B ) .x. X ) = ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) )
24	9, 21	ringidcl 14298	. . . . . . . 8 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
25	5, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
26	9, 10	grpinvcl 13830	. . . . . . 7 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
27	7, 25, 26	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
28	14, 3, 16, 9, 20	lmodvsass 14622	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ B e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) B ) .x. X ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) )
29	1, 27, 8, 13, 28	syl13anc 1280	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) B ) .x. X ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) )
30	23, 29	eqtr3d 2273	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) )
31	30	oveq2d 6091	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` B ) .x. X ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) ) )
32	19, 31	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> ( ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) ) )
33		lmodsubdir.s	. . . . 5 |- S = ( -g ` F )
34	9, 17, 10, 33	grpsubval 13828	. . . 4 |- ( ( A e. K /\ B e. K ) -> ( A S B ) = ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) )
35	2, 8, 34	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( A S B ) = ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) )
36	35	oveq1d 6090	. 2 |- ( ph -> ( ( A S B ) .x. X ) = ( ( A ( +g ` F ) ( ( invg ` F ) ` B ) ) .x. X ) )
37	14, 3, 16, 9	lmodvscl 14614	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
38	1, 2, 13, 37	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. V )
39	14, 3, 16, 9	lmodvscl 14614	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ B e. K /\ X e. V ) -> ( B .x. X ) e. V )
40	1, 8, 13, 39	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( B .x. X ) e. V )
41		lmodsubdir.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
42	14, 15, 41, 3, 16, 10, 21	lmodvsubval2 14651	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( A .x. X ) e. V /\ ( B .x. X ) e. V ) -> ( ( A .x. X ) .- ( B .x. X ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) ) )
43	1, 38, 40, 42	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .- ( B .x. X ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( B .x. X ) ) ) )
44	32, 36, 43	3eqtr4d 2281	1 |- ( ph -> ( ( A S B ) .x. X ) = ( ( A .x. X ) .- ( B .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   .rcmulr 13409  Scalarcsca 13411   .scvsca 13412   Grpcgrp 13782   invgcminusg 13783   -gcsg 13784   1rcur 14237   Ringcrg 14274   LModclmod 14596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-sbg 13787  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-lmod 14598

This theorem is referenced by: (None)