Theorem lmodsubid 14194

Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubeq0.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubeq0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lmodsubeq0.m	|- .- = ( -g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubid	|- ( ( W e. LMod /\ A e. V ) -> ( A .- A ) = .0. )

Proof of Theorem lmodsubid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 14141	. 2 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
2		lmodsubeq0.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		lmodsubeq0.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
4		lmodsubeq0.m	. . 3 |- .- = ( -g ` W )
5	2, 3, 4	grpsubid 13501	. 2 |- ( ( W e. Grp /\ A e. V ) -> ( A .- A ) = .0. )
6	1, 5	sylan 283	1 |- ( ( W e. LMod /\ A e. V ) -> ( A .- A ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   Basecbs 12917   0gc0g 13173   Grpcgrp 13417   -gcsg 13419   LModclmod 14134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1re 8049  ax-addrcl 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-plusg 13007  df-mulr 13008  df-sca 13010  df-vsca 13011  df-0g 13175  df-mgm 13273  df-sgrp 13319  df-mnd 13334  df-grp 13420  df-minusg 13421  df-sbg 13422  df-lmod 14136

This theorem is referenced by:  lss0cl  14216