Theorem lmodsubid 13630

Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubeq0.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubeq0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lmodsubeq0.m	|- .- = ( -g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubid	|- ( ( W e. LMod /\ A e. V ) -> ( A .- A ) = .0. )

Proof of Theorem lmodsubid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 13577	. 2 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
2		lmodsubeq0.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		lmodsubeq0.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
4		lmodsubeq0.m	. . 3 |- .- = ( -g ` W )
5	2, 3, 4	grpsubid 13000	. 2 |- ( ( W e. Grp /\ A e. V ) -> ( A .- A ) = .0. )
6	1, 5	sylan 283	1 |- ( ( W e. LMod /\ A e. V ) -> ( A .- A ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   Basecbs 12486   0gc0g 12733   Grpcgrp 12917   -gcsg 12919   LModclmod 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1re 7924  ax-addrcl 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-5 9000  df-6 9001  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-plusg 12574  df-mulr 12575  df-sca 12577  df-vsca 12578  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-grp 12920  df-minusg 12921  df-sbg 12922  df-lmod 13572

This theorem is referenced by:  lss0cl  13652