Theorem lmodprop2d 13904

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. This version of lmodpropd 13905 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodprop2d.b1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
lmodprop2d.b2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
lmodprop2d.f	|- F = (Scalar ` K )
lmodprop2d.g	|- G = (Scalar ` L )
lmodprop2d.p1	|- ( ph -> P = ( Base ` F ) )
lmodprop2d.p2	|- ( ph -> P = ( Base ` G ) )
lmodprop2d.1	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
lmodprop2d.2	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( +g ` F ) y ) = ( x ( +g ` G ) y ) )
lmodprop2d.3	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( .r ` F ) y ) = ( x ( .r ` G ) y ) )
lmodprop2d.4	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
lmodprop2d	|- ( ph -> ( K e. LMod <-> L e. LMod ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, F, y   ph, x, y   x, G, y   x, K, y   x, L, y   x, P, y

Proof of Theorem lmodprop2d

Dummy variables r q w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 13850	. . . 4 |- ( K e. LMod -> K e. Grp )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( K e. LMod -> K e. Grp ) )
3		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
4		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
5		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( .s ` K ) = ( .s ` K )
6		lmodprop2d.f	. . . . . 6 |- F = (Scalar ` K )
7		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
8		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
9		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
10		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	islmod 13847	. . . . 5 |- ( K e. LMod <-> ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. ( Base ` F ) A. r e. ( Base ` F ) A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. ( Base ` K ) /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) ) )
12	11	simp2bi 1015	. . . 4 |- ( K e. LMod -> F e. Ring )
13	12	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( K e. LMod -> F e. Ring ) )
14		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> K e. LMod )
15		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> x e. P )
16		lmodprop2d.p1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P = ( Base ` F ) )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> P = ( Base ` F ) )
18	15, 17	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> x e. ( Base ` F ) )
19		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> y e. B )
20		lmodprop2d.b1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
21	20	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
22	19, 21	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> y e. ( Base ` K ) )
23	3, 6, 5, 7	lmodvscl 13861	. . . . . . 7 |- ( ( K e. LMod /\ x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) e. ( Base ` K ) )
24	14, 18, 22, 23	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) e. ( Base ` K ) )
25	24, 21	eleqtrrd 2276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) e. B )
26	25	ralrimivva 2579	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. LMod ) -> A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B )
27	26	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( K e. LMod -> A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) )
28	2, 13, 27	3jcad 1180	. 2 |- ( ph -> ( K e. LMod -> ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) )
29		lmodgrp 13850	. . . 4 |- ( L e. LMod -> L e. Grp )
30		lmodprop2d.b2	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
31		lmodprop2d.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
32	20, 30, 31	grppropd 13149	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )
33	29, 32	imbitrrid 156	. . 3 |- ( ph -> ( L e. LMod -> K e. Grp ) )
34		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
35		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
36		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( .s ` L ) = ( .s ` L )
37		lmodprop2d.g	. . . . . 6 |- G = (Scalar ` L )
38		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
39		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
40		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( .r ` G ) = ( .r ` G )
41		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( 1r ` G ) = ( 1r ` G )
42	34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41	islmod 13847	. . . . 5 |- ( L e. LMod <-> ( L e. Grp /\ G e. Ring /\ A. q e. ( Base ` G ) A. r e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. ( Base ` L ) /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) ) )
43	42	simp2bi 1015	. . . 4 |- ( L e. LMod -> G e. Ring )
44		lmodprop2d.p2	. . . . 5 |- ( ph -> P = ( Base ` G ) )
45		lmodprop2d.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( +g ` F ) y ) = ( x ( +g ` G ) y ) )
46		lmodprop2d.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( .r ` F ) y ) = ( x ( .r ` G ) y ) )
47	16, 44, 45, 46	ringpropd 13594	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. Ring <-> G e. Ring ) )
48	43, 47	imbitrrid 156	. . 3 |- ( ph -> ( L e. LMod -> F e. Ring ) )
49		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> L e. LMod )
50		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> x e. P )
51	44	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> P = ( Base ` G ) )
52	50, 51	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> x e. ( Base ` G ) )
53		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> y e. B )
54	30	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` L ) )
55	53, 54	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> y e. ( Base ` L ) )
56	34, 37, 36, 38	lmodvscl 13861	. . . . . . 7 |- ( ( L e. LMod /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` L ) ) -> ( x ( .s ` L ) y ) e. ( Base ` L ) )
57	49, 52, 55, 56	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` L ) y ) e. ( Base ` L ) )
58		lmodprop2d.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
59	58	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
60	57, 59, 54	3eltr4d 2280	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ L e. LMod ) /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) e. B )
61	60	ralrimivva 2579	. . . 4 |- ( ( ph /\ L e. LMod ) -> A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B )
62	61	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( L e. LMod -> A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) )
63	33, 48, 62	3jcad 1180	. 2 |- ( ph -> ( L e. LMod -> ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) )
64	32	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )
65	47	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( F e. Ring <-> G e. Ring ) )
66		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ph )
67		simprlr 538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> r e. P )
68		simprrr 540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> w e. B )
69	58	oveqrspc2v 5949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. P /\ w e. B ) ) -> ( r ( .s ` K ) w ) = ( r ( .s ` L ) w ) )
70	66, 67, 68, 69	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) w ) = ( r ( .s ` L ) w ) )
71	70	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) w ) e. B <-> ( r ( .s ` L ) w ) e. B ) )
72		simplr1 1041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> K e. Grp )
73	20	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> B = ( Base ` K ) )
74	68, 73	eleqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> w e. ( Base ` K ) )
75		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> z e. B )
76	75, 73	eleqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> z e. ( Base ` K ) )
77	3, 4, 72, 74, 76	grpcld 13146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( w ( +g ` K ) z ) e. ( Base ` K ) )
78	77, 73	eleqtrrd 2276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( w ( +g ` K ) z ) e. B )
79	58	oveqrspc2v 5949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. P /\ ( w ( +g ` K ) z ) e. B ) ) -> ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` K ) z ) ) )
80	66, 67, 78, 79	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` K ) z ) ) )
81	31	oveqrspc2v 5949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( w e. B /\ z e. B ) ) -> ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` L ) z ) )
82	66, 68, 75, 81	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` L ) z ) )
83	82	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) )
84	80, 83	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) )
85		simplr3 1043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B )
86		ovrspc2v 5948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( r e. P /\ w e. B ) /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) -> ( r ( .s ` K ) w ) e. B )
87	67, 68, 85, 86	syl21anc 1248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) w ) e. B )
88		ovrspc2v 5948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( r e. P /\ z e. B ) /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) -> ( r ( .s ` K ) z ) e. B )
89	67, 75, 85, 88	syl21anc 1248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) z ) e. B )
90	31	oveqrspc2v 5949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( r ( .s ` K ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` K ) z ) e. B ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` K ) z ) ) )
91	66, 87, 89, 90	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` K ) z ) ) )
92	58	oveqrspc2v 5949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. P /\ z e. B ) ) -> ( r ( .s ` K ) z ) = ( r ( .s ` L ) z ) )
93	66, 67, 75, 92	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) z ) = ( r ( .s ` L ) z ) )
94	70, 93	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) )
95	91, 94	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) )
96	84, 95	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) <-> ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) ) )
97		simplr2 1042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> F e. Ring )
98		simprll 537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> q e. P )
99	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> P = ( Base ` F ) )
100	98, 99	eleqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> q e. ( Base ` F ) )
101	67, 99	eleqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> r e. ( Base ` F ) )
102	7, 8	ringacl 13586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. Ring /\ q e. ( Base ` F ) /\ r e. ( Base ` F ) ) -> ( q ( +g ` F ) r ) e. ( Base ` F ) )
103	97, 100, 101, 102	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( q ( +g ` F ) r ) e. ( Base ` F ) )
104	103, 99	eleqtrrd 2276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( q ( +g ` F ) r ) e. P )
105	58	oveqrspc2v 5949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) e. P /\ w e. B ) ) -> ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` L ) w ) )
106	66, 104, 68, 105	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` L ) w ) )
107	45	oveqrspc2v 5949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( q e. P /\ r e. P ) ) -> ( q ( +g ` F ) r ) = ( q ( +g ` G ) r ) )
108	107	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( q ( +g ` F ) r ) = ( q ( +g ` G ) r ) )
109	108	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) )
110	106, 109	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) )
111		ovrspc2v 5948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( q e. P /\ w e. B ) /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) -> ( q ( .s ` K ) w ) e. B )
112	98, 68, 85, 111	syl21anc 1248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( q ( .s ` K ) w ) e. B )
113	31	oveqrspc2v 5949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( q ( .s ` K ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` K ) w ) e. B ) ) -> ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` K ) w ) ) )
114	66, 112, 87, 113	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` K ) w ) ) )
115	58	oveqrspc2v 5949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( q e. P /\ w e. B ) ) -> ( q ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` L ) w ) )
116	66, 98, 68, 115	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( q ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` L ) w ) )
117	116, 70	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) )
118	114, 117	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) )
119	110, 118	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) <-> ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) )
120	71, 96, 119	3anbi123d 1323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) <-> ( ( r ( .s ` L ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) ) )
121	7, 9	ringcl 13569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. Ring /\ q e. ( Base ` F ) /\ r e. ( Base ` F ) ) -> ( q ( .r ` F ) r ) e. ( Base ` F ) )
122	97, 100, 101, 121	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( q ( .r ` F ) r ) e. ( Base ` F ) )
123	122, 99	eleqtrrd 2276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( q ( .r ` F ) r ) e. P )
124	58	oveqrspc2v 5949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( q ( .r ` F ) r ) e. P /\ w e. B ) ) -> ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` L ) w ) )
125	66, 123, 68, 124	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` L ) w ) )
126	46	oveqrspc2v 5949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( q e. P /\ r e. P ) ) -> ( q ( .r ` F ) r ) = ( q ( .r ` G ) r ) )
127	126	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( q ( .r ` F ) r ) = ( q ( .r ` G ) r ) )
128	127	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) )
129	125, 128	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) )
130	58	oveqrspc2v 5949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( q e. P /\ ( r ( .s ` K ) w ) e. B ) ) -> ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` K ) w ) ) )
131	66, 98, 87, 130	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` K ) w ) ) )
132	70	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) )
133	131, 132	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) )
134	129, 133	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) <-> ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) )
135	7, 10	ringidcl 13576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. ( Base ` F ) )
136	97, 135	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( 1r ` F ) e. ( Base ` F ) )
137	136, 99	eleqtrrd 2276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( 1r ` F ) e. P )
138	58	oveqrspc2v 5949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( 1r ` F ) e. P /\ w e. B ) ) -> ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = ( ( 1r ` F ) ( .s ` L ) w ) )
139	66, 137, 68, 138	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = ( ( 1r ` F ) ( .s ` L ) w ) )
140	16	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ K e. Grp /\ F e. Ring ) -> P = ( Base ` F ) )
141	44	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ K e. Grp /\ F e. Ring ) -> P = ( Base ` G ) )
142	46	3ad2antl1 1161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ K e. Grp /\ F e. Ring ) /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( .r ` F ) y ) = ( x ( .r ` G ) y ) )
143		simp3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ K e. Grp /\ F e. Ring ) -> F e. Ring )
144	47	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ F e. Ring ) -> G e. Ring )
145	144	3adant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ K e. Grp /\ F e. Ring ) -> G e. Ring )
146	140, 141, 142, 143, 145	rngidpropdg 13702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ K e. Grp /\ F e. Ring ) -> ( 1r ` F ) = ( 1r ` G ) )
147	66, 72, 97, 146	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( 1r ` F ) = ( 1r ` G ) )
148	147	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( 1r ` F ) ( .s ` L ) w ) = ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) )
149	139, 148	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) )
150	149	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w <-> ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) )
151	134, 150	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) <-> ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) )
152	120, 151	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( ( q e. P /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) <-> ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) ) )
153	152	anassrs 400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( q e. P /\ r e. P ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) <-> ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) ) )
154	153	2ralbidva 2519	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) /\ ( q e. P /\ r e. P ) ) -> ( A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) <-> A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) ) )
155	154	2ralbidva 2519	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( A. q e. P A. r e. P A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) <-> A. q e. P A. r e. P A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) ) )
156	16	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> P = ( Base ` F ) )
157	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
158	157	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) w ) e. B <-> ( r ( .s ` K ) w ) e. ( Base ` K ) ) )
159	158	3anbi1d 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) <-> ( ( r ( .s ` K ) w ) e. ( Base ` K ) /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) ) )
160	159	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) <-> ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. ( Base ` K ) /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) ) )
161	157, 160	raleqbidv 2709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) <-> A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. ( Base ` K ) /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) ) )
162	157, 161	raleqbidv 2709	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) <-> A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. ( Base ` K ) /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) ) )
163	156, 162	raleqbidv 2709	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( A. r e. P A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) <-> A. r e. ( Base ` F ) A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. ( Base ` K ) /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) ) )
164	156, 163	raleqbidv 2709	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( A. q e. P A. r e. P A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) <-> A. q e. ( Base ` F ) A. r e. ( Base ` F ) A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. ( Base ` K ) /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) ) )
165	44	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> P = ( Base ` G ) )
166	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> B = ( Base ` L ) )
167	166	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( ( r ( .s ` L ) w ) e. B <-> ( r ( .s ` L ) w ) e. ( Base ` L ) ) )
168	167	3anbi1d 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) <-> ( ( r ( .s ` L ) w ) e. ( Base ` L ) /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) ) )
169	168	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) <-> ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. ( Base ` L ) /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) ) )
170	166, 169	raleqbidv 2709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) <-> A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. ( Base ` L ) /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) ) )
171	166, 170	raleqbidv 2709	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) <-> A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. ( Base ` L ) /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) ) )
172	165, 171	raleqbidv 2709	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( A. r e. P A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) <-> A. r e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. ( Base ` L ) /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) ) )
173	165, 172	raleqbidv 2709	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( A. q e. P A. r e. P A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. B /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) <-> A. q e. ( Base ` G ) A. r e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. ( Base ` L ) /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) ) )
174	155, 164, 173	3bitr3d 218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( A. q e. ( Base ` F ) A. r e. ( Base ` F ) A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. ( Base ` K ) /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) <-> A. q e. ( Base ` G ) A. r e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. ( Base ` L ) /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) ) )
175	64, 65, 174	3anbi123d 1323	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. ( Base ` F ) A. r e. ( Base ` F ) A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) w ) e. ( Base ` K ) /\ ( r ( .s ` K ) ( w ( +g ` K ) z ) ) = ( ( r ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( ( q ( .s ` K ) w ) ( +g ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` K ) w ) = ( q ( .s ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` K ) w ) = w ) ) ) <-> ( L e. Grp /\ G e. Ring /\ A. q e. ( Base ` G ) A. r e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) w ) e. ( Base ` L ) /\ ( r ( .s ` L ) ( w ( +g ` L ) z ) ) = ( ( r ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) z ) ) /\ ( ( q ( +g ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( ( q ( .s ` L ) w ) ( +g ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` G ) r ) ( .s ` L ) w ) = ( q ( .s ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) /\ ( ( 1r ` G ) ( .s ` L ) w ) = w ) ) ) ) )
176	175, 11, 42	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ( ph /\ ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) ) -> ( K e. LMod <-> L e. LMod ) )
177	176	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( ( K e. Grp /\ F e. Ring /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. B ) -> ( K e. LMod <-> L e. LMod ) ) )
178	28, 63, 177	pm5.21ndd 706	1 |- ( ph -> ( K e. LMod <-> L e. LMod ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   .rcmulr 12756  Scalarcsca 12758   .scvsca 12759   Grpcgrp 13132   1rcur 13515   Ringcrg 13552   LModclmod 13843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-lmod 13845

This theorem is referenced by:  lmodpropd  13905