Theorem lss0cl 14517

Description: The zero vector belongs to every subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	|- .0. = ( 0g ` W )
lss0cl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lss0cl	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> .0. e. U )

Proof of Theorem lss0cl

Dummy variables x a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . . 5 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
2		eqid 2232	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
3		eqid 2232	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
4		eqid 2232	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
5		eqid 2232	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
6		lss0cl.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islssmg 14506	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U C_ ( Base ` W ) /\ E. x x e. U /\ A. a e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. b e. U A. c e. U ( ( a ( .s ` W ) b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
8	7	biimpa 296	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( U C_ ( Base ` W ) /\ E. x x e. U /\ A. a e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. b e. U A. c e. U ( ( a ( .s ` W ) b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
9	8	simp2d 1037	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> E. x x e. U )
10		simp1 1024	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> W e. LMod )
11	3, 6	lsselg 14509	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> x e. ( Base ` W ) )
12		lss0cl.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` W )
13		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
14	3, 12, 13	lmodsubid 14495	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ x e. ( Base ` W ) ) -> ( x ( -g ` W ) x ) = .0. )
15	10, 11, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> ( x ( -g ` W ) x ) = .0. )
16	13, 6	lssvsubcl 14514	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( x e. U /\ x e. U ) ) -> ( x ( -g ` W ) x ) e. U )
17	16	anabsan2 586	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) -> ( x ( -g ` W ) x ) e. U )
18	17	3impa 1221	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> ( x ( -g ` W ) x ) e. U )
19	15, 18	eqeltrrd 2310	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> .0. e. U )
20	19	3expia 1232	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( x e. U -> .0. e. U ) )
21	20	exlimdv 1868	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( E. x x e. U -> .0. e. U ) )
22	9, 21	mpd 13	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> .0. e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   C_ wss 3211   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290  Scalarcsca 13293   .scvsca 13294   0gc0g 13469   -gcsg 13715   LModclmod 14435   LSubSpclss 14500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-sbg 13718  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142  df-lmod 14437  df-lssm 14501

This theorem is referenced by:  lss0ss  14519  lssvneln0  14521  lssvscl  14523  lsssubg  14525  lssintclm  14532  lidl0cl  14631