Theorem lss0cl 14246

Description: The zero vector belongs to every subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	|- .0. = ( 0g ` W )
lss0cl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lss0cl	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> .0. e. U )

Proof of Theorem lss0cl

Dummy variables x a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . . . 5 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
2		eqid 2207	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
3		eqid 2207	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
4		eqid 2207	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
5		eqid 2207	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
6		lss0cl.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islssmg 14235	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U C_ ( Base ` W ) /\ E. x x e. U /\ A. a e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. b e. U A. c e. U ( ( a ( .s ` W ) b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
8	7	biimpa 296	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( U C_ ( Base ` W ) /\ E. x x e. U /\ A. a e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. b e. U A. c e. U ( ( a ( .s ` W ) b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
9	8	simp2d 1013	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> E. x x e. U )
10		simp1 1000	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> W e. LMod )
11	3, 6	lsselg 14238	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> x e. ( Base ` W ) )
12		lss0cl.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` W )
13		eqid 2207	. . . . . . 7 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
14	3, 12, 13	lmodsubid 14224	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ x e. ( Base ` W ) ) -> ( x ( -g ` W ) x ) = .0. )
15	10, 11, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> ( x ( -g ` W ) x ) = .0. )
16	13, 6	lssvsubcl 14243	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( x e. U /\ x e. U ) ) -> ( x ( -g ` W ) x ) e. U )
17	16	anabsan2 584	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) -> ( x ( -g ` W ) x ) e. U )
18	17	3impa 1197	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> ( x ( -g ` W ) x ) e. U )
19	15, 18	eqeltrrd 2285	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> .0. e. U )
20	19	3expia 1208	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( x e. U -> .0. e. U ) )
21	20	exlimdv 1843	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( E. x x e. U -> .0. e. U ) )
22	9, 21	mpd 13	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> .0. e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   C_ wss 3174   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024  Scalarcsca 13027   .scvsca 13028   0gc0g 13203   -gcsg 13449   LModclmod 14164   LSubSpclss 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-sbg 13452  df-mgp 13798  df-ur 13837  df-ring 13875  df-lmod 14166  df-lssm 14230

This theorem is referenced by:  lss0ss  14248  lssvneln0  14250  lssvscl  14252  lsssubg  14254  lssintclm  14261  lidl0cl  14360