Theorem lss0cl 14131

Description: The zero vector belongs to every subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	|- .0. = ( 0g ` W )
lss0cl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lss0cl	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> .0. e. U )

Proof of Theorem lss0cl

Dummy variables x a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . . . 5 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
2		eqid 2205	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
3		eqid 2205	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
4		eqid 2205	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
5		eqid 2205	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
6		lss0cl.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islssmg 14120	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U C_ ( Base ` W ) /\ E. x x e. U /\ A. a e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. b e. U A. c e. U ( ( a ( .s ` W ) b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
8	7	biimpa 296	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( U C_ ( Base ` W ) /\ E. x x e. U /\ A. a e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. b e. U A. c e. U ( ( a ( .s ` W ) b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
9	8	simp2d 1013	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> E. x x e. U )
10		simp1 1000	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> W e. LMod )
11	3, 6	lsselg 14123	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> x e. ( Base ` W ) )
12		lss0cl.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` W )
13		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
14	3, 12, 13	lmodsubid 14109	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ x e. ( Base ` W ) ) -> ( x ( -g ` W ) x ) = .0. )
15	10, 11, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> ( x ( -g ` W ) x ) = .0. )
16	13, 6	lssvsubcl 14128	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( x e. U /\ x e. U ) ) -> ( x ( -g ` W ) x ) e. U )
17	16	anabsan2 584	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) -> ( x ( -g ` W ) x ) e. U )
18	17	3impa 1197	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> ( x ( -g ` W ) x ) e. U )
19	15, 18	eqeltrrd 2283	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> .0. e. U )
20	19	3expia 1208	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( x e. U -> .0. e. U ) )
21	20	exlimdv 1842	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( E. x x e. U -> .0. e. U ) )
22	9, 21	mpd 13	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> .0. e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   C_ wss 3166   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909  Scalarcsca 12912   .scvsca 12913   0gc0g 13088   -gcsg 13334   LModclmod 14049   LSubSpclss 14114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-sca 12925  df-vsca 12926  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-sbg 13337  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-ring 13760  df-lmod 14051  df-lssm 14115

This theorem is referenced by:  lss0ss  14133  lssvneln0  14135  lssvscl  14137  lsssubg  14139  lssintclm  14146  lidl0cl  14245