Theorem lss0cl 13865

Description: The zero vector belongs to every subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	|- .0. = ( 0g ` W )
lss0cl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lss0cl	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> .0. e. U )

Proof of Theorem lss0cl

Dummy variables x a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . . 5 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
2		eqid 2193	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
3		eqid 2193	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
4		eqid 2193	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
5		eqid 2193	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
6		lss0cl.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islssmg 13854	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U C_ ( Base ` W ) /\ E. x x e. U /\ A. a e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. b e. U A. c e. U ( ( a ( .s ` W ) b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
8	7	biimpa 296	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( U C_ ( Base ` W ) /\ E. x x e. U /\ A. a e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. b e. U A. c e. U ( ( a ( .s ` W ) b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
9	8	simp2d 1012	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> E. x x e. U )
10		simp1 999	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> W e. LMod )
11	3, 6	lsselg 13857	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> x e. ( Base ` W ) )
12		lss0cl.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` W )
13		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
14	3, 12, 13	lmodsubid 13843	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ x e. ( Base ` W ) ) -> ( x ( -g ` W ) x ) = .0. )
15	10, 11, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> ( x ( -g ` W ) x ) = .0. )
16	13, 6	lssvsubcl 13862	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( x e. U /\ x e. U ) ) -> ( x ( -g ` W ) x ) e. U )
17	16	anabsan2 584	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ x e. U ) -> ( x ( -g ` W ) x ) e. U )
18	17	3impa 1196	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> ( x ( -g ` W ) x ) e. U )
19	15, 18	eqeltrrd 2271	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ x e. U ) -> .0. e. U )
20	19	3expia 1207	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( x e. U -> .0. e. U ) )
21	20	exlimdv 1830	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( E. x x e. U -> .0. e. U ) )
22	9, 21	mpd 13	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> .0. e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   C_ wss 3153   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695  Scalarcsca 12698   .scvsca 12699   0gc0g 12867   -gcsg 13074   LModclmod 13783   LSubSpclss 13848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-lmod 13785  df-lssm 13849

This theorem is referenced by:  lss0ss  13867  lssvneln0  13869  lssvscl  13871  lsssubg  13873  lssintclm  13880  lidl0cl  13979