Theorem grpsubid 13043

Description: Subtraction of a group element from itself. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubid.o	|- .0. = ( 0g ` G )
grpsubid.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubid	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .- X ) = .0. )

Proof of Theorem grpsubid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubid.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2189	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2189	. . . . 5 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
4		grpsubid.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13005	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ X e. B ) -> ( X .- X ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
6	5	anidms 397	. . 3 |- ( X e. B -> ( X .- X ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
7	6	adantl 277	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .- X ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` X ) ) )
8		grpsubid.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
9	1, 2, 8, 3	grprinv 13010	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` X ) ) = .0. )
10	7, 9	eqtrd 2222	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .- X ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Basecbs 12515   +g cplusg 12592   0gc0g 12764   Grpcgrp 12960   invgcminusg 12961   -gcsg 12962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-inn 8951  df-2 9009  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-plusg 12605  df-0g 12766  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-sbg 12965

This theorem is referenced by:  grppncan  13050  grpnpncan0  13055  issubg4m  13149  0nsg  13170  abladdsub4  13270  ablpncan2  13272  ablpnpcan  13276  ablnncan  13277  aprirr  13616  lmodsubid  13680