Theorem lspsnel6 14387

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnel5.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lspsnel6	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))

Proof of Theorem lspsnel6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
3		lspsnel5.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
6		lspsnel5.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lspsnel5.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8	6, 7	lsselg 14340	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
9	2, 4, 5, 8	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lspsnel5.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11	7, 10	lspsnss 14383	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
12	2, 4, 5, 11	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
13	9, 12	jca 306	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
14	6, 10	lspsnid 14386	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
15	1, 14	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
16		ssel 3218	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑋 ∈ 𝑈))
17	15, 16	syl5com 29	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝑈))
18	17	impr 379	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
19	13, 18	impbida 598	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  {csn 3666  ‘cfv 5318  Basecbs 13047  LModclmod 14266  LSubSpclss 14331  LSpanclspn 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-lmod 14268  df-lssm 14332  df-lsp 14366

This theorem is referenced by:  lspsnel5  14388