Theorem lssex 14663

Description: Existence of a linear subspace. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lssex	|- ( W e. V -> ( LSubSp ` W ) e. _V )

Proof of Theorem lssex

Dummy variables w a b j s x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13389	. . . . . 6 |- Base Fn _V
2		vex 2824	. . . . . . 7 |- w e. _V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( W e. V -> w e. _V )
4		funfvex 5707	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ w e. dom Base ) -> ( Base ` w ) e. _V )
5	4	funfni 5478	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ w e. _V ) -> ( Base ` w ) e. _V )
6	1, 3, 5	sylancr 418	. . . . 5 |- ( W e. V -> ( Base ` w ) e. _V )
7	6	pwexd 4313	. . . 4 |- ( W e. V -> ~P ( Base ` w ) e. _V )
8		rabexg 4274	. . . 4 |- ( ~P ( Base ` w ) e. _V -> { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } e. _V )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( W e. V -> { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } e. _V )
10	9	alrimiv 1927	. 2 |- ( W e. V -> A. w { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } e. _V )
11		df-lssm 14662	. . 3 |- LSubSp = ( w e. _V |-> { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } )
12	11	mptfvex 5785	. 2 |- ( ( A. w { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } e. _V /\ W e. V ) -> ( LSubSp ` W ) e. _V )
13	10, 12	mpancom 426	1 |- ( W e. V -> ( LSubSp ` W ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1400   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   ~Pcpw 3685   Fn wfn 5367   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408  Scalarcsca 13411   .scvsca 13412   LSubSpclss 14661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-lssm 14662

This theorem is referenced by:  lidlex  14782