Theorem lssex 14318

Description: Existence of a linear subspace. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lssex	|- ( W e. V -> ( LSubSp ` W ) e. _V )

Proof of Theorem lssex

Dummy variables w a b j s x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13091	. . . . . 6 |- Base Fn _V
2		vex 2802	. . . . . . 7 |- w e. _V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( W e. V -> w e. _V )
4		funfvex 5644	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ w e. dom Base ) -> ( Base ` w ) e. _V )
5	4	funfni 5423	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ w e. _V ) -> ( Base ` w ) e. _V )
6	1, 3, 5	sylancr 414	. . . . 5 |- ( W e. V -> ( Base ` w ) e. _V )
7	6	pwexd 4265	. . . 4 |- ( W e. V -> ~P ( Base ` w ) e. _V )
8		rabexg 4227	. . . 4 |- ( ~P ( Base ` w ) e. _V -> { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } e. _V )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( W e. V -> { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } e. _V )
10	9	alrimiv 1920	. 2 |- ( W e. V -> A. w { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } e. _V )
11		df-lssm 14317	. . 3 |- LSubSp = ( w e. _V |-> { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } )
12	11	mptfvex 5720	. 2 |- ( ( A. w { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } e. _V /\ W e. V ) -> ( LSubSp ` W ) e. _V )
13	10, 12	mpancom 422	1 |- ( W e. V -> ( LSubSp ` W ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1393   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   ~Pcpw 3649   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110  Scalarcsca 13113   .scvsca 13114   LSubSpclss 14316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-inn 9111  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-lssm 14317

This theorem is referenced by:  lidlex  14437