Theorem lssex 13663

Description: Existence of a linear subspace. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lssex	|- ( W e. V -> ( LSubSp ` W ) e. _V )

Proof of Theorem lssex

Dummy variables w a b j s x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 12565	. . . . . 6 |- Base Fn _V
2		vex 2755	. . . . . . 7 |- w e. _V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( W e. V -> w e. _V )
4		funfvex 5548	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ w e. dom Base ) -> ( Base ` w ) e. _V )
5	4	funfni 5332	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ w e. _V ) -> ( Base ` w ) e. _V )
6	1, 3, 5	sylancr 414	. . . . 5 |- ( W e. V -> ( Base ` w ) e. _V )
7	6	pwexd 4196	. . . 4 |- ( W e. V -> ~P ( Base ` w ) e. _V )
8		rabexg 4161	. . . 4 |- ( ~P ( Base ` w ) e. _V -> { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } e. _V )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( W e. V -> { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } e. _V )
10	9	alrimiv 1885	. 2 |- ( W e. V -> A. w { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } e. _V )
11		df-lssm 13662	. . 3 |- LSubSp = ( w e. _V |-> { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } )
12	11	mptfvex 5618	. 2 |- ( ( A. w { s e. ~P ( Base ` w ) | ( E. j j e. s /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` w ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( x ( .s ` w ) a ) ( +g ` w ) b ) e. s ) } e. _V /\ W e. V ) -> ( LSubSp ` W ) e. _V )
13	10, 12	mpancom 422	1 |- ( W e. V -> ( LSubSp ` W ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   E.wex 1503   e. wcel 2160   A.wral 2468   {crab 2472   _Vcvv 2752   ~Pcpw 3590   Fn wfn 5227   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   Basecbs 12507   +g cplusg 12582  Scalarcsca 12585   .scvsca 12586   LSubSpclss 13661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1re 7930  ax-addrcl 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-fv 5240  df-inn 8945  df-ndx 12510  df-slot 12511  df-base 12513  df-lssm 13662

This theorem is referenced by:  lidlex  13782