Theorem mptfvex 5672

Description: Sufficient condition for a maps-to notation to be set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
mptfvex	|- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> ( F ` C ) e. _V )

Distinct variable groups:   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem mptfvex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3097	. . 3 |- ( y = C -> [_ y / x ]_ B = [_ C / x ]_ B )
2		fvmpt2.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> B )
3		nfcv 2349	. . . . 5 |- F/_ y B
4		nfcsb1v 3127	. . . . 5 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
5		csbeq1a 3103	. . . . 5 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
6	3, 4, 5	cbvmpt 4143	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
7	2, 6	eqtri 2227	. . 3 |- F = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
8	1, 7	fvmptss2 5661	. 2 |- ( F ` C ) C_ [_ C / x ]_ B
9		elex 2784	. . . . . 6 |- ( B e. V -> B e. _V )
10	9	alimi 1479	. . . . 5 |- ( A. x B e. V -> A. x B e. _V )
11	3	nfel1 2360	. . . . . 6 |- F/ y B e. _V
12	4	nfel1 2360	. . . . . 6 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. _V
13	5	eleq1d 2275	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( B e. _V <-> [_ y / x ]_ B e. _V ) )
14	11, 12, 13	cbval 1778	. . . . 5 |- ( A. x B e. _V <-> A. y [_ y / x ]_ B e. _V )
15	10, 14	sylib 122	. . . 4 |- ( A. x B e. V -> A. y [_ y / x ]_ B e. _V )
16	1	eleq1d 2275	. . . . 5 |- ( y = C -> ( [_ y / x ]_ B e. _V <-> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
17	16	spcgv 2861	. . . 4 |- ( C e. W -> ( A. y [_ y / x ]_ B e. _V -> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
18	15, 17	syl5 32	. . 3 |- ( C e. W -> ( A. x B e. V -> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
19	18	impcom 125	. 2 |- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> [_ C / x ]_ B e. _V )
20		ssexg 4187	. 2 |- ( ( ( F ` C ) C_ [_ C / x ]_ B /\ [_ C / x ]_ B e. _V ) -> ( F ` C ) e. _V )
21	8, 19, 20	sylancr 414	1 |- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> ( F ` C ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   [_csb 3094   C_ wss 3167   |-> cmpt 4109   ` cfv 5276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284

This theorem is referenced by:  mpofvex  6298  xpcomco  6928  lssex  14160  mopnset  14358  metuex  14361