Theorem mptfvex 5581

Description: Sufficient condition for a maps-to notation to be set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
mptfvex	|- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> ( F ` C ) e. _V )

Distinct variable groups:   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem mptfvex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3052	. . 3 |- ( y = C -> [_ y / x ]_ B = [_ C / x ]_ B )
2		fvmpt2.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> B )
3		nfcv 2312	. . . . 5 |- F/_ y B
4		nfcsb1v 3082	. . . . 5 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
5		csbeq1a 3058	. . . . 5 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
6	3, 4, 5	cbvmpt 4084	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
7	2, 6	eqtri 2191	. . 3 |- F = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
8	1, 7	fvmptss2 5571	. 2 |- ( F ` C ) C_ [_ C / x ]_ B
9		elex 2741	. . . . . 6 |- ( B e. V -> B e. _V )
10	9	alimi 1448	. . . . 5 |- ( A. x B e. V -> A. x B e. _V )
11	3	nfel1 2323	. . . . . 6 |- F/ y B e. _V
12	4	nfel1 2323	. . . . . 6 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. _V
13	5	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( B e. _V <-> [_ y / x ]_ B e. _V ) )
14	11, 12, 13	cbval 1747	. . . . 5 |- ( A. x B e. _V <-> A. y [_ y / x ]_ B e. _V )
15	10, 14	sylib 121	. . . 4 |- ( A. x B e. V -> A. y [_ y / x ]_ B e. _V )
16	1	eleq1d 2239	. . . . 5 |- ( y = C -> ( [_ y / x ]_ B e. _V <-> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
17	16	spcgv 2817	. . . 4 |- ( C e. W -> ( A. y [_ y / x ]_ B e. _V -> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
18	15, 17	syl5 32	. . 3 |- ( C e. W -> ( A. x B e. V -> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
19	18	impcom 124	. 2 |- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> [_ C / x ]_ B e. _V )
20		ssexg 4128	. 2 |- ( ( ( F ` C ) C_ [_ C / x ]_ B /\ [_ C / x ]_ B e. _V ) -> ( F ` C ) e. _V )
21	8, 19, 20	sylancr 412	1 |- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> ( F ` C ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   [_csb 3049   C_ wss 3121   |-> cmpt 4050   ` cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  mpofvex  6182  xpcomco  6804