Theorem mptfvex 5571

Description: Sufficient condition for a maps-to notation to be set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
mptfvex	|- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> ( F ` C ) e. _V )

Distinct variable groups:   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem mptfvex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3048	. . 3 |- ( y = C -> [_ y / x ]_ B = [_ C / x ]_ B )
2		fvmpt2.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> B )
3		nfcv 2308	. . . . 5 |- F/_ y B
4		nfcsb1v 3078	. . . . 5 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
5		csbeq1a 3054	. . . . 5 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
6	3, 4, 5	cbvmpt 4077	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
7	2, 6	eqtri 2186	. . 3 |- F = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
8	1, 7	fvmptss2 5561	. 2 |- ( F ` C ) C_ [_ C / x ]_ B
9		elex 2737	. . . . . 6 |- ( B e. V -> B e. _V )
10	9	alimi 1443	. . . . 5 |- ( A. x B e. V -> A. x B e. _V )
11	3	nfel1 2319	. . . . . 6 |- F/ y B e. _V
12	4	nfel1 2319	. . . . . 6 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. _V
13	5	eleq1d 2235	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( B e. _V <-> [_ y / x ]_ B e. _V ) )
14	11, 12, 13	cbval 1742	. . . . 5 |- ( A. x B e. _V <-> A. y [_ y / x ]_ B e. _V )
15	10, 14	sylib 121	. . . 4 |- ( A. x B e. V -> A. y [_ y / x ]_ B e. _V )
16	1	eleq1d 2235	. . . . 5 |- ( y = C -> ( [_ y / x ]_ B e. _V <-> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
17	16	spcgv 2813	. . . 4 |- ( C e. W -> ( A. y [_ y / x ]_ B e. _V -> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
18	15, 17	syl5 32	. . 3 |- ( C e. W -> ( A. x B e. V -> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
19	18	impcom 124	. 2 |- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> [_ C / x ]_ B e. _V )
20		ssexg 4121	. 2 |- ( ( ( F ` C ) C_ [_ C / x ]_ B /\ [_ C / x ]_ B e. _V ) -> ( F ` C ) e. _V )
21	8, 19, 20	sylancr 411	1 |- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> ( F ` C ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   [_csb 3045   C_ wss 3116   |-> cmpt 4043   ` cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  mpofvex  6171  xpcomco  6792