Theorem lssex 13850

Description: Existence of a linear subspace. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lssex	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LSubSp‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem lssex

Dummy variables 𝑤 𝑎 𝑏 𝑗 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 12676	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
2		vex 2763	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑤 ∈ V)
4		funfvex 5571	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑤 ∈ dom Base) → (Base‘𝑤) ∈ V)
5	4	funfni 5354	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑤 ∈ V) → (Base‘𝑤) ∈ V)
6	1, 3, 5	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑤) ∈ V)
7	6	pwexd 4210	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝒫 (Base‘𝑤) ∈ V)
8		rabexg 4172	. . . 4 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑤) ∈ V → {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V)
10	9	alrimiv 1885	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ∀𝑤{𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V)
11		df-lssm 13849	. . 3 ⊢ LSubSp = (𝑤 ∈ V ↦ {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)})
12	11	mptfvex 5643	. 2 ⊢ ((∀𝑤{𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) → (LSubSp‘𝑊) ∈ V)
13	10, 12	mpancom 422	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LSubSp‘𝑊) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1362  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  {crab 2476  Vcvv 2760  𝒫 cpw 3601   Fn wfn 5249  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  Scalarcsca 12698   ·_𝑠 cvsca 12699  LSubSpclss 13848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-lssm 13849

This theorem is referenced by:  lidlex  13969