Theorem lssex 13910

Description: Existence of a linear subspace. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lssex	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LSubSp‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem lssex

Dummy variables 𝑤 𝑎 𝑏 𝑗 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 12736	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
2		vex 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑤 ∈ V)
4		funfvex 5575	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑤 ∈ dom Base) → (Base‘𝑤) ∈ V)
5	4	funfni 5358	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑤 ∈ V) → (Base‘𝑤) ∈ V)
6	1, 3, 5	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑤) ∈ V)
7	6	pwexd 4214	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝒫 (Base‘𝑤) ∈ V)
8		rabexg 4176	. . . 4 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑤) ∈ V → {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V)
10	9	alrimiv 1888	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ∀𝑤{𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V)
11		df-lssm 13909	. . 3 ⊢ LSubSp = (𝑤 ∈ V ↦ {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)})
12	11	mptfvex 5647	. 2 ⊢ ((∀𝑤{𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) → (LSubSp‘𝑊) ∈ V)
13	10, 12	mpancom 422	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LSubSp‘𝑊) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1362  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {crab 2479  Vcvv 2763  𝒫 cpw 3605   Fn wfn 5253  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  Scalarcsca 12758   ·_𝑠 cvsca 12759  LSubSpclss 13908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-lssm 13909

This theorem is referenced by:  lidlex  14029