Theorem lssex 14371

Description: Existence of a linear subspace. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lssex	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LSubSp‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem lssex

Dummy variables 𝑤 𝑎 𝑏 𝑗 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13143	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
2		vex 2805	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑤 ∈ V)
4		funfvex 5656	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑤 ∈ dom Base) → (Base‘𝑤) ∈ V)
5	4	funfni 5432	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑤 ∈ V) → (Base‘𝑤) ∈ V)
6	1, 3, 5	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑤) ∈ V)
7	6	pwexd 4271	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝒫 (Base‘𝑤) ∈ V)
8		rabexg 4233	. . . 4 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑤) ∈ V → {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V)
10	9	alrimiv 1922	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ∀𝑤{𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V)
11		df-lssm 14370	. . 3 ⊢ LSubSp = (𝑤 ∈ V ↦ {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)})
12	11	mptfvex 5732	. 2 ⊢ ((∀𝑤{𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) → (LSubSp‘𝑊) ∈ V)
13	10, 12	mpancom 422	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LSubSp‘𝑊) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1395  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  {crab 2514  Vcvv 2802  𝒫 cpw 3652   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13084  +_gcplusg 13162  Scalarcsca 13165   ·_𝑠 cvsca 13166  LSubSpclss 14369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-inn 9144  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-lssm 14370

This theorem is referenced by:  lidlex  14490