Theorem lssex 14693

Description: Existence of a linear subspace. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lssex	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LSubSp‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem lssex

Dummy variables 𝑤 𝑎 𝑏 𝑗 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basfn 13413	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
2		vex 2824	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑤 ∈ V)
4		funfvex 5712	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑤 ∈ dom Base) → (Base‘𝑤) ∈ V)
5	4	funfni 5483	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑤 ∈ V) → (Base‘𝑤) ∈ V)
6	1, 3, 5	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑤) ∈ V)
7	6	pwexd 4318	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝒫 (Base‘𝑤) ∈ V)
8		rabexg 4279	. . . 4 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑤) ∈ V → {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V)
10	9	alrimiv 1927	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ∀𝑤{𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V)
11		df-lssm 14692	. . 3 ⊢ LSubSp = (𝑤 ∈ V ↦ {𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)})
12	11	mptfvex 5791	. 2 ⊢ ((∀𝑤{𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑤) ∣ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑤))∀𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑤)𝑎)(+g‘𝑤)𝑏) ∈ 𝑠)} ∈ V ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) → (LSubSp‘𝑊) ∈ V)
13	10, 12	mpancom 426	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LSubSp‘𝑊) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1400  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821  𝒫 cpw 3688   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13354  +_gcplusg 13433  Scalarcsca 13436   ·_𝑠 cvsca 13437  LSubSpclss 14691

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-inn 9306  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-lssm 14692

This theorem is used by:  lidlex  14812