Theorem lssuni 13859

Description: The union of all subspaces is the vector space. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	|- V = ( Base ` W )
lssss.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssuni.w	|- ( ph -> W e. LMod )

Assertion

Ref	Expression
lssuni	|- ( ph -> U. S = V )

Proof of Theorem lssuni

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssuni.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lssss.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
3		lssss.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
4	2, 3	lssssg 13856	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ x e. S ) -> x C_ V )
5	4	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> A. x e. S x C_ V )
6		rabid2 2671	. . . . 5 |- ( S = { x e. S | x C_ V } <-> A. x e. S x C_ V )
7	5, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( W e. LMod -> S = { x e. S | x C_ V } )
8	7	unieqd 3846	. . 3 |- ( W e. LMod -> U. S = U. { x e. S | x C_ V } )
9	1, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> U. S = U. { x e. S | x C_ V } )
10	2, 3	lss1 13858	. . 3 |- ( W e. LMod -> V e. S )
11		unimax 3869	. . 3 |- ( V e. S -> U. { x e. S | x C_ V } = V )
12	1, 10, 11	3syl 17	. 2 |- ( ph -> U. { x e. S | x C_ V } = V )
13	9, 12	eqtrd 2226	1 |- ( ph -> U. S = V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   C_ wss 3153   U.cuni 3835   ` cfv 5254   Basecbs 12618   LModclmod 13783   LSubSpclss 13848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-lmod 13785  df-lssm 13849

This theorem is referenced by: (None)