Theorem lssuni 14511

Description: The union of all subspaces is the vector space. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	|- V = ( Base ` W )
lssss.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssuni.w	|- ( ph -> W e. LMod )

Assertion

Ref	Expression
lssuni	|- ( ph -> U. S = V )

Proof of Theorem lssuni

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssuni.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lssss.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
3		lssss.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
4	2, 3	lssssg 14508	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ x e. S ) -> x C_ V )
5	4	ralrimiva 2615	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> A. x e. S x C_ V )
6		rabid2 2721	. . . . 5 |- ( S = { x e. S | x C_ V } <-> A. x e. S x C_ V )
7	5, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( W e. LMod -> S = { x e. S | x C_ V } )
8	7	unieqd 3925	. . 3 |- ( W e. LMod -> U. S = U. { x e. S | x C_ V } )
9	1, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> U. S = U. { x e. S | x C_ V } )
10	2, 3	lss1 14510	. . 3 |- ( W e. LMod -> V e. S )
11		unimax 3948	. . 3 |- ( V e. S -> U. { x e. S | x C_ V } = V )
12	1, 10, 11	3syl 17	. 2 |- ( ph -> U. { x e. S | x C_ V } = V )
13	9, 12	eqtrd 2265	1 |- ( ph -> U. S = V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   C_ wss 3211   U.cuni 3914   ` cfv 5352   Basecbs 13212   LModclmod 14435   LSubSpclss 14500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-lmod 14437  df-lssm 14501

This theorem is referenced by: (None)