Theorem lssuni 14096

Description: The union of all subspaces is the vector space. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	|- V = ( Base ` W )
lssss.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssuni.w	|- ( ph -> W e. LMod )

Assertion

Ref	Expression
lssuni	|- ( ph -> U. S = V )

Proof of Theorem lssuni

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssuni.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lssss.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
3		lssss.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
4	2, 3	lssssg 14093	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ x e. S ) -> x C_ V )
5	4	ralrimiva 2578	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> A. x e. S x C_ V )
6		rabid2 2682	. . . . 5 |- ( S = { x e. S | x C_ V } <-> A. x e. S x C_ V )
7	5, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( W e. LMod -> S = { x e. S | x C_ V } )
8	7	unieqd 3860	. . 3 |- ( W e. LMod -> U. S = U. { x e. S | x C_ V } )
9	1, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> U. S = U. { x e. S | x C_ V } )
10	2, 3	lss1 14095	. . 3 |- ( W e. LMod -> V e. S )
11		unimax 3883	. . 3 |- ( V e. S -> U. { x e. S | x C_ V } = V )
12	1, 10, 11	3syl 17	. 2 |- ( ph -> U. { x e. S | x C_ V } = V )
13	9, 12	eqtrd 2237	1 |- ( ph -> U. S = V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   {crab 2487   C_ wss 3165   U.cuni 3849   ` cfv 5270   Basecbs 12803   LModclmod 14020   LSubSpclss 14085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-plusg 12893  df-mulr 12894  df-sca 12896  df-vsca 12897  df-0g 13061  df-mgm 13159  df-sgrp 13205  df-mnd 13220  df-grp 13306  df-lmod 14022  df-lssm 14086

This theorem is referenced by: (None)