Theorem lssuni 14459

Description: The union of all subspaces is the vector space. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	|- V = ( Base ` W )
lssss.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssuni.w	|- ( ph -> W e. LMod )

Assertion

Ref	Expression
lssuni	|- ( ph -> U. S = V )

Proof of Theorem lssuni

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssuni.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lssss.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
3		lssss.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
4	2, 3	lssssg 14456	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ x e. S ) -> x C_ V )
5	4	ralrimiva 2606	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> A. x e. S x C_ V )
6		rabid2 2711	. . . . 5 |- ( S = { x e. S | x C_ V } <-> A. x e. S x C_ V )
7	5, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( W e. LMod -> S = { x e. S | x C_ V } )
8	7	unieqd 3909	. . 3 |- ( W e. LMod -> U. S = U. { x e. S | x C_ V } )
9	1, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> U. S = U. { x e. S | x C_ V } )
10	2, 3	lss1 14458	. . 3 |- ( W e. LMod -> V e. S )
11		unimax 3932	. . 3 |- ( V e. S -> U. { x e. S | x C_ V } = V )
12	1, 10, 11	3syl 17	. 2 |- ( ph -> U. { x e. S | x C_ V } = V )
13	9, 12	eqtrd 2264	1 |- ( ph -> U. S = V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   C_ wss 3201   U.cuni 3898   ` cfv 5333   Basecbs 13162   LModclmod 14383   LSubSpclss 14448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-sca 13256  df-vsca 13257  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-lmod 14385  df-lssm 14449

This theorem is referenced by: (None)