Theorem lssuni 14343

Description: The union of all subspaces is the vector space. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	|- V = ( Base ` W )
lssss.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssuni.w	|- ( ph -> W e. LMod )

Assertion

Ref	Expression
lssuni	|- ( ph -> U. S = V )

Proof of Theorem lssuni

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssuni.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lssss.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
3		lssss.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
4	2, 3	lssssg 14340	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ x e. S ) -> x C_ V )
5	4	ralrimiva 2603	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> A. x e. S x C_ V )
6		rabid2 2708	. . . . 5 |- ( S = { x e. S | x C_ V } <-> A. x e. S x C_ V )
7	5, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( W e. LMod -> S = { x e. S | x C_ V } )
8	7	unieqd 3899	. . 3 |- ( W e. LMod -> U. S = U. { x e. S | x C_ V } )
9	1, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> U. S = U. { x e. S | x C_ V } )
10	2, 3	lss1 14342	. . 3 |- ( W e. LMod -> V e. S )
11		unimax 3922	. . 3 |- ( V e. S -> U. { x e. S | x C_ V } = V )
12	1, 10, 11	3syl 17	. 2 |- ( ph -> U. { x e. S | x C_ V } = V )
13	9, 12	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> U. S = V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   C_ wss 3197   U.cuni 3888   ` cfv 5318   Basecbs 13048   LModclmod 14267   LSubSpclss 14332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-plusg 13139  df-mulr 13140  df-sca 13142  df-vsca 13143  df-0g 13307  df-mgm 13405  df-sgrp 13451  df-mnd 13466  df-grp 13552  df-lmod 14269  df-lssm 14333

This theorem is referenced by: (None)