Theorem lssuni 14623

Description: The union of all subspaces is the vector space. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssuni.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
lssuni	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝑉)

Proof of Theorem lssuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssuni.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lssss.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lssss.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssssg 14620	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ⊆ 𝑉)
5	4	ralrimiva 2617	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ⊆ 𝑉)
6		rabid2 2723	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ⊆ 𝑉)
7	5, 6	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉})
8	7	unieqd 3930	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ 𝑆 = ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉})
9	1, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉})
10	2, 3	lss1 14622	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
11		unimax 3953	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} = 𝑉)
12	1, 10, 11	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} = 𝑉)
13	9, 12	eqtrd 2267	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526   ⊆ wss 3214  ∪ cuni 3919  ‘cfv 5357  Basecbs 13296  LModclmod 14547  LSubSpclss 14612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-0g 13555  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-lmod 14549  df-lssm 14613

This theorem is referenced by: (None)