Theorem lssuni 14380

Description: The union of all subspaces is the vector space. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssuni.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
lssuni	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝑉)

Proof of Theorem lssuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssuni.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lssss.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lssss.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssssg 14377	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ⊆ 𝑉)
5	4	ralrimiva 2605	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ⊆ 𝑉)
6		rabid2 2710	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ⊆ 𝑉)
7	5, 6	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉})
8	7	unieqd 3904	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ 𝑆 = ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉})
9	1, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉})
10	2, 3	lss1 14379	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
11		unimax 3927	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} = 𝑉)
12	1, 10, 11	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} = 𝑉)
13	9, 12	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  {crab 2514   ⊆ wss 3200  ∪ cuni 3893  ‘cfv 5326  Basecbs 13084  LModclmod 14304  LSubSpclss 14369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-lmod 14306  df-lssm 14370

This theorem is referenced by: (None)