Theorem lssuni 13676

Description: The union of all subspaces is the vector space. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssuni.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
lssuni	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝑉)

Proof of Theorem lssuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssuni.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lssss.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lssss.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssssg 13673	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ⊆ 𝑉)
5	4	ralrimiva 2563	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ⊆ 𝑉)
6		rabid2 2667	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ⊆ 𝑉)
7	5, 6	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉})
8	7	unieqd 3835	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ 𝑆 = ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉})
9	1, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉})
10	2, 3	lss1 13675	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
11		unimax 3858	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} = 𝑉)
12	1, 10, 11	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} = 𝑉)
13	9, 12	eqtrd 2222	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  {crab 2472   ⊆ wss 3144  ∪ cuni 3824  ‘cfv 5235  Basecbs 12511  LModclmod 13600  LSubSpclss 13665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1re 7934  ax-addrcl 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-plusg 12599  df-mulr 12600  df-sca 12602  df-vsca 12603  df-0g 12760  df-mgm 12829  df-sgrp 12862  df-mnd 12875  df-grp 12945  df-lmod 13602  df-lssm 13666

This theorem is referenced by: (None)