Theorem lssuni 13862

Description: The union of all subspaces is the vector space. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssuni.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
lssuni	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝑉)

Proof of Theorem lssuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssuni.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lssss.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lssss.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssssg 13859	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ⊆ 𝑉)
5	4	ralrimiva 2567	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ⊆ 𝑉)
6		rabid2 2671	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ⊆ 𝑉)
7	5, 6	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉})
8	7	unieqd 3847	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ 𝑆 = ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉})
9	1, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉})
10	2, 3	lss1 13861	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
11		unimax 3870	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} = 𝑉)
12	1, 10, 11	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑉} = 𝑉)
13	9, 12	eqtrd 2226	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  {crab 2476   ⊆ wss 3154  ∪ cuni 3836  ‘cfv 5255  Basecbs 12621  LModclmod 13786  LSubSpclss 13851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-lmod 13788  df-lssm 13852

This theorem is referenced by: (None)