ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgnegnn Unicode version
Theorem mulgnegnn 12998
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg1.b |- B = ( Base ` G )
mulg1.m |- .x. = (.g ` G )
mulgnegnn.i |- I = ( invg ` G )
Assertion
Ref Expression
mulgnegnn |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) = ( I ` ( N .x. X ) ) )
Proof of Theorem mulgnegnn
StepHypRef Expression
1 nncn 8929 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. CC )
21negnegd 8261 . . . . 5 |- ( N e. NN -> -u -u N = N )
32adantr 276 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> -u -u N = N )
43fveq2d 5521 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u -u N ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
54fveq2d 5521 . 2 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( I ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u -u N ) ) = ( I ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` N ) ) )
6 nnnegz 9258 . . . 4 |- ( N e. NN -> -u N e. ZZ )
7 mulg1.b . . . . 5 |- B = ( Base ` G )
8 eqid 2177 . . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9 eqid 2177 . . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
10 mulgnegnn.i . . . . 5 |- I = ( invg ` G )
11 mulg1.m . . . . 5 |- .x. = (.g ` G )
12 eqid 2177 . . . . 5 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) )
137, 8, 9, 10, 11, 12mulgval 12991 . . . 4 |- ( ( -u N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) = if ( -u N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < -u N , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u N ) , ( I ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u -u N ) ) ) ) )
146, 13sylan 283 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) = if ( -u N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < -u N , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u N ) , ( I ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u -u N ) ) ) ) )
15 nnne0 8949 . . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
16 negeq0 8213 . . . . . . . . 9 |- ( N e. CC -> ( N = 0 <-> -u N = 0 ) )
1716necon3abid 2386 . . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( N =/= 0 <-> -. -u N = 0 ) )
181, 17syl 14 . . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N =/= 0 <-> -. -u N = 0 ) )
1915, 18mpbid 147 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> -. -u N = 0 )
2019iffalsed 3546 . . . . 5 |- ( N e. NN -> if ( -u N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < -u N , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u N ) , ( I ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u -u N ) ) ) ) = if ( 0 < -u N , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u N ) , ( I ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u -u N ) ) ) )
21 nnre 8928 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
2221renegcld 8339 . . . . . . 7 |- ( N e. NN -> -u N e. RR )
23 nngt0 8946 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < N )
2421lt0neg2d 8475 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 0 < N <-> -u N < 0 ) )
2523, 24mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( N e. NN -> -u N < 0 )
26 0re 7959 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
27 ltnsym 8045 . . . . . . . 8 |- ( ( -u N e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( -u N < 0 -> -. 0 < -u N ) )
2826, 27mpan2 425 . . . . . . 7 |- ( -u N e. RR -> ( -u N < 0 -> -. 0 < -u N ) )
2922, 25, 28sylc 62 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> -. 0 < -u N )
3029iffalsed 3546 . . . . 5 |- ( N e. NN -> if ( 0 < -u N , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u N ) , ( I ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u -u N ) ) ) = ( I ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u -u N ) ) )
3120, 30eqtrd 2210 . . . 4 |- ( N e. NN -> if ( -u N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < -u N , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u N ) , ( I ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u -u N ) ) ) ) = ( I ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u -u N ) ) )
3231adantr 276 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> if ( -u N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < -u N , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u N ) , ( I ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u -u N ) ) ) ) = ( I ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u -u N ) ) )
3314, 32eqtrd 2210 . 2 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) = ( I ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` -u -u N ) ) )
347, 8, 11, 12mulgnn 12994 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
3534fveq2d 5521 . 2 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( I ` ( N .x. X ) ) = ( I ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { X } ) ) ` N ) ) )
365, 33, 353eqtr4d 2220 1 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) = ( I ` ( N .x. X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   ifcif 3536   {csn 3594   class class class wbr 4005   X. cxp 4626   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   < clt 7994   -ucneg 8131   NNcn 8921   ZZcz 9255   seqcseq 10447   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   0gc0g 12710   invgcminusg 12883  .gcmg 12988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-minusg 12886  df-mulg 12989
This theorem is referenced by:  mulgsubcl  13002  mulgneg  13006  mulgneg2  13022  cnfldmulg  13555
  Copyright terms: Public domain W3C validator