Theorem ltnsym 8107

Description: 'Less than' is not symmetric. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
ltnsym	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem ltnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttr 8095	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐴))
2	1	3anidm13 1307	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐴))
3	2	expd 258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴)))
4		ltnr 8098	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
6		con3 643	. 2 ⊢ ((𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴) → (¬ 𝐴 < 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
7	3, 5, 6	syl6ci 1456	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ℝcr 7873   < clt 8056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061

This theorem is referenced by:  ltle  8109  ltnsymi  8121  elnnz  9330  zdclt  9397  xrltnsym  9862  qdclt  10318  mulgnegnn  13205  lgsval4a  15179