Theorem ltnsym 8045

Description: 'Less than' is not symmetric. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
ltnsym	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem ltnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttr 8033	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐴))
2	1	3anidm13 1296	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐴))
3	2	expd 258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴)))
4		ltnr 8036	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
6		con3 642	. 2 ⊢ ((𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴) → (¬ 𝐴 < 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
7	3, 5, 6	syl6ci 1445	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ℝcr 7812   < clt 7994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999

This theorem is referenced by:  ltle  8047  ltnsymi  8059  elnnz  9265  zdclt  9332  xrltnsym  9795  mulgnegnn  12998  lgsval4a  14462