ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsval4a Unicode version

Theorem lgsval4a 14003
Description: Same as lgsval4 14001 for positive  N. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval4.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
lgsval4a  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /L
N )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, N
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem lgsval4a
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
2 nnz 9245 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
32adantl 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
4 nnne0 8920 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
54adantl 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
6 lgsval4.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )
76lgsval4 14001 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( A  /L N )  =  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( abs `  N
) ) ) )
81, 3, 5, 7syl3anc 1238 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /L
N )  =  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) ) )
9 nngt0 8917 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
109adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
11 0re 7932 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
12 nnre 8899 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1312adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
14 ltnsym 8017 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  N  ->  -.  N  <  0
) )
1511, 13, 14sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <  N  ->  -.  N  <  0
) )
1610, 15mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  -.  N  <  0
)
1716intnanrd 932 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  -.  ( N  <  0  /\  A  <  0 ) )
1817iffalsed 3542 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =  1 )
19 nnnn0 9156 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2019adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
2120nn0ge0d 9205 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  N )
2213, 21absidd 11144 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( abs `  N
)  =  N )
2322fveq2d 5511 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( abs `  N
) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N ) )
2418, 23oveq12d 5883 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) )  =  ( 1  x.  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  N )
) )
25 nnuz 9536 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
26 1zzd 9253 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
276lgsfcl3 14002 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  F : NN --> ZZ )
281, 3, 5, 27syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  F : NN --> ZZ )
2928ffvelcdmda 5643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  ZZ )
30 zmulcl 9279 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
3130adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  ZZ )
3225, 26, 29, 31seqf 10431 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> ZZ )
33 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
3432, 33ffvelcdmd 5644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 N )  e.  ZZ )
3534zcnd 9349 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 N )  e.  CC )
3635mulid2d 7950 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N ) )
378, 24, 363eqtrd 2212 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /L
N )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2146    =/= wne 2345   ifcif 3532   class class class wbr 3998    |-> cmpt 4059   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787    x. cmul 7791    < clt 7966   -ucneg 8103   NNcn 8892   NN0cn0 9149   ZZcz 9226    seqcseq 10415   ^cexp 10489   abscabs 10974   Primecprime 12074    pCnt cpc 12251    /Lclgs 13978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-5 8954  df-6 8955  df-7 8956  df-8 8957  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-ihash 10724  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255  df-proddc 11527  df-dvds 11763  df-gcd 11911  df-prm 12075  df-phi 12178  df-pc 12252  df-lgs 13979
This theorem is referenced by:  lgsmod  14007
  Copyright terms: Public domain W3C validator