Theorem lgsval4a 16263

Description: Same as lgsval4 16261 for positive N. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval4.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsval4a	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A /L N ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, N

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem lgsval4a

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> A e. ZZ )
2		nnz 9668	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	2	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
4		nnne0 9335	. . . 4 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N =/= 0 )
6		lgsval4.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
7	6	lgsval4 16261	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L N ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
8	1, 3, 5, 7	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A /L N ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
9		nngt0 9332	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
10	9	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 < N )
11		0re 8327	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
12		nnre 9314	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. RR )
14		ltnsym 8412	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> -. N < 0 ) )
15	11, 13, 14	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 < N -> -. N < 0 ) )
16	10, 15	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> -. N < 0 )
17	16	intnanrd 944	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> -. ( N < 0 /\ A < 0 ) )
18	17	iffalsed 3650	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) = 1 )
19		nnnn0 9575	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
20	19	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. NN0 )
21	20	nn0ge0d 9628	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ N )
22	13, 21	absidd 11949	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( abs ` N ) = N )
23	22	fveq2d 5699	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
24	18, 23	oveq12d 6103	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) )
25		nnuz 9968	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
26		1zzd 9676	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 1 e. ZZ )
27	6	lgsfcl3 16262	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> ZZ )
28	1, 3, 5, 27	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> F : NN --> ZZ )
29	28	ffvelcdmda 5843	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
30		zmulcl 9703	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
31	30	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
32	25, 26, 29, 31	seqf 10915	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> ZZ )
33		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
34	32, 33	ffvelcdmd 5844	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. ZZ )
35	34	zcnd 9774	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. CC )
36	35	mullidd 8345	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 1 x. ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
37	8, 24, 36	3eqtrd 2275	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A /L N ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   ifcif 3638   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8179   0cc0 8180   1c1 8181   x. cmul 8185   < clt 8361   -ucneg 8500   NNcn 9307   NN0cn0 9568   ZZcz 9649   seqcseq 10898   ^cexp 10989   abscabs 11778   Primecprime 12903   pCnt cpc 13085   /Lclgs 16238

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-fl 10716  df-mod 10774  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-ihash 11230  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780  df-clim 12063  df-proddc 12336  df-dvds 12573  df-gcd 12749  df-prm 12904  df-phi 13011  df-pc 13086  df-lgs 16239

This theorem is used by:  lgsmod  16267