Theorem lgsval4a 14462

Description: Same as lgsval4 14460 for positive N. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval4.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsval4a	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A /L N ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, N

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem lgsval4a

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> A e. ZZ )
2		nnz 9274	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	2	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
4		nnne0 8949	. . . 4 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N =/= 0 )
6		lgsval4.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
7	6	lgsval4 14460	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L N ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
8	1, 3, 5, 7	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A /L N ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
9		nngt0 8946	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
10	9	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 < N )
11		0re 7959	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
12		nnre 8928	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. RR )
14		ltnsym 8045	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> -. N < 0 ) )
15	11, 13, 14	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 < N -> -. N < 0 ) )
16	10, 15	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> -. N < 0 )
17	16	intnanrd 932	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> -. ( N < 0 /\ A < 0 ) )
18	17	iffalsed 3546	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) = 1 )
19		nnnn0 9185	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
20	19	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. NN0 )
21	20	nn0ge0d 9234	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ N )
22	13, 21	absidd 11178	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( abs ` N ) = N )
23	22	fveq2d 5521	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
24	18, 23	oveq12d 5895	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) )
25		nnuz 9565	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
26		1zzd 9282	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 1 e. ZZ )
27	6	lgsfcl3 14461	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> ZZ )
28	1, 3, 5, 27	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> F : NN --> ZZ )
29	28	ffvelcdmda 5653	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
30		zmulcl 9308	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
31	30	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
32	25, 26, 29, 31	seqf 10463	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> ZZ )
33		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
34	32, 33	ffvelcdmd 5654	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. ZZ )
35	34	zcnd 9378	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. CC )
36	35	mulid2d 7978	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 1 x. ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
37	8, 24, 36	3eqtrd 2214	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A /L N ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   ifcif 3536   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   x. cmul 7818   < clt 7994   -ucneg 8131   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   seqcseq 10447   ^cexp 10521   abscabs 11008   Primecprime 12109   pCnt cpc 12286   /Lclgs 14437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-proddc 11561  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110  df-phi 12213  df-pc 12287  df-lgs 14438

This theorem is referenced by:  lgsmod  14466