Theorem lgsval4a 13523

Description: Same as lgsval4 13521 for positive N. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval4.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsval4a	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A /L N ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, N

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem lgsval4a

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> A e. ZZ )
2		nnz 9206	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	2	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
4		nnne0 8881	. . . 4 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N =/= 0 )
6		lgsval4.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
7	6	lgsval4 13521	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L N ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
8	1, 3, 5, 7	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A /L N ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
9		nngt0 8878	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
10	9	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 < N )
11		0re 7895	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
12		nnre 8860	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
13	12	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. RR )
14		ltnsym 7980	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> -. N < 0 ) )
15	11, 13, 14	sylancr 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 < N -> -. N < 0 ) )
16	10, 15	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> -. N < 0 )
17	16	intnanrd 922	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> -. ( N < 0 /\ A < 0 ) )
18	17	iffalsed 3529	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) = 1 )
19		nnnn0 9117	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
20	19	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. NN0 )
21	20	nn0ge0d 9166	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ N )
22	13, 21	absidd 11105	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( abs ` N ) = N )
23	22	fveq2d 5489	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
24	18, 23	oveq12d 5859	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) )
25		nnuz 9497	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
26		1zzd 9214	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> 1 e. ZZ )
27	6	lgsfcl3 13522	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> ZZ )
28	1, 3, 5, 27	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> F : NN --> ZZ )
29	28	ffvelrnda 5619	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
30		zmulcl 9240	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
31	30	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
32	25, 26, 29, 31	seqf 10392	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> ZZ )
33		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
34	32, 33	ffvelrnd 5620	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. ZZ )
35	34	zcnd 9310	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) e. CC )
36	35	mulid2d 7913	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 1 x. ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
37	8, 24, 36	3eqtrd 2202	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A /L N ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2335   ifcif 3519   class class class wbr 3981   |-> cmpt 4042   -->wf 5183   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   RRcr 7748   0cc0 7749   1c1 7750   x. cmul 7754   < clt 7929   -ucneg 8066   NNcn 8853   NN0cn0 9110   ZZcz 9187   seqcseq 10376   ^cexp 10450   abscabs 10935   Primecprime 12035   pCnt cpc 12212   /Lclgs 13498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-xor 1366  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-irdg 6334  df-frec 6355  df-1o 6380  df-2o 6381  df-oadd 6384  df-er 6497  df-en 6703  df-dom 6704  df-fin 6705  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-5 8915  df-6 8916  df-7 8917  df-8 8918  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-ihash 10685  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-clim 11216  df-proddc 11488  df-dvds 11724  df-gcd 11872  df-prm 12036  df-phi 12139  df-pc 12213  df-lgs 13499

This theorem is referenced by:  lgsmod  13527