Theorem zdclt 9236

Description: Integer < is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdclt	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A < B )

Proof of Theorem zdclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9205	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9166	. . 3 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		zre 9166	. . 3 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
4		orc 702	. . . . . 6 |- ( A < B -> ( A < B \/ -. A < B ) )
5		df-dc 821	. . . . . 6 |- (DECID A < B <-> ( A < B \/ -. A < B ) )
6	4, 5	sylibr 133	. . . . 5 |- ( A < B -> DECID A < B )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> DECID A < B ) )
8		ltnr 7949	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> -. A < A )
9	8	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> -. A < A )
10		breq2 3969	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( A < A <-> A < B ) )
11	10	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> ( A < A <-> A < B ) )
12	9, 11	mtbid 662	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> -. A < B )
13		olc 701	. . . . . . . 8 |- ( -. A < B -> ( A < B \/ -. A < B ) )
14	13, 5	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( -. A < B -> DECID A < B )
15	12, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> DECID A < B )
16	15	ex 114	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> DECID A < B ) )
17	16	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> DECID A < B ) )
18		ltnsym 7958	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> -. A < B ) )
19	18	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> -. A < B ) )
20	19, 14	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> DECID A < B ) )
21	7, 17, 20	3jaod 1286	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A < B ) )
22	2, 3, 21	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A < B ) )
23	1, 22	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A < B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   \/ w3o 962   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   RRcr 7726   < clt 7907   ZZcz 9162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-addcom 7827  ax-addass 7829  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-ltadd 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-inn 8829  df-n0 9086  df-z 9163

This theorem is referenced by:  fztri3or  9936  modifeq2int  10280  modsumfzodifsn  10290  exp3val  10416  cvgratz  11424