Theorem zdclt 9722

Description: Integer < is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdclt	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A < B )

Proof of Theorem zdclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9687	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9648	. . 3 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		zre 9648	. . 3 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
4		orc 724	. . . . . 6 |- ( A < B -> ( A < B \/ -. A < B ) )
5		df-dc 847	. . . . . 6 |- (DECID A < B <-> ( A < B \/ -. A < B ) )
6	4, 5	sylibr 134	. . . . 5 |- ( A < B -> DECID A < B )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> DECID A < B ) )
8		ltnr 8402	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> -. A < A )
9	8	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> -. A < A )
10		breq2 4134	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( A < A <-> A < B ) )
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> ( A < A <-> A < B ) )
12	9, 11	mtbid 683	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> -. A < B )
13		olc 723	. . . . . . . 8 |- ( -. A < B -> ( A < B \/ -. A < B ) )
14	13, 5	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( -. A < B -> DECID A < B )
15	12, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> DECID A < B )
16	15	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> DECID A < B ) )
17	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> DECID A < B ) )
18		ltnsym 8411	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> -. A < B ) )
19	18	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> -. A < B ) )
20	19, 14	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> DECID A < B ) )
21	7, 17, 20	3jaod 1345	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A < B ) )
22	2, 3, 21	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A < B ) )
23	1, 22	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A < B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   < clt 8360   ZZcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by:  fztri3or  10443  modifeq2int  10823  modsumfzodifsn  10833  seqf1oglem1  10956  seqf1oglem2  10957  exp3val  10978  ccatsymb  11370  fzowrddc  11419  swrd0g  11432  cvgratz  12299  bitsfzolem  12721  bitsmod  12723  infpnlem1  13138  infpnlem2  13139  ballotfilemefi  13237  gzsumfzval  13711  gzsumcl  13804  mulgval  13925  mulgfng  13927  subgmulg  13991  gzsumreidx  14141  gzsumsubmcl  14142  gzsummhm  14145  lgsval  16123  lgscllem  16126  lgsneg  16143  lgsdilem  16146  lgsdir  16154  lgsdi  16156  lgsne0  16157  lgsquadlemsfi  16194  lgsquadlem3  16198