ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdclt Unicode version

Theorem zdclt 9082
Description: Integer  < is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
zdclt  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  -> DECID  A  <  B )

Proof of Theorem zdclt
StepHypRef Expression
1 ztri3or 9051 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B  \/  B  <  A ) )
2 zre 9012 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
3 zre 9012 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
4 orc 684 . . . . . 6  |-  ( A  <  B  ->  ( A  <  B  \/  -.  A  <  B ) )
5 df-dc 803 . . . . . 6  |-  (DECID  A  < 
B  <->  ( A  < 
B  \/  -.  A  <  B ) )
64, 5sylibr 133 . . . . 5  |-  ( A  <  B  -> DECID  A  <  B )
76a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  -> DECID  A  <  B ) )
8 ltnr 7805 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  A  <  A )
98adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  -.  A  <  A
)
10 breq2 3901 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <  A  <->  A  <  B ) )
1110adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  ( A  <  A  <->  A  <  B ) )
129, 11mtbid 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  -.  A  <  B
)
13 olc 683 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  <  B  -> 
( A  <  B  \/  -.  A  <  B
) )
1413, 5sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  <  B  -> DECID  A  <  B )
1512, 14syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  -> DECID  A  <  B )
1615ex 114 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  B  -> DECID  A  < 
B ) )
1716adantr 272 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  -> DECID 
A  <  B )
)
18 ltnsym 7814 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  -.  A  <  B
) )
1918ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  -.  A  <  B
) )
2019, 14syl6 33 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  -> DECID  A  <  B ) )
217, 17, 203jaod 1265 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  < 
B  \/  A  =  B  \/  B  < 
A )  -> DECID  A  <  B ) )
222, 3, 21syl2an 285 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  < 
B  \/  A  =  B  \/  B  < 
A )  -> DECID  A  <  B ) )
231, 22mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  -> DECID  A  <  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680  DECID wdc 802    \/ w3o 944    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   RRcr 7583    < clt 7764   ZZcz 9008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009
This theorem is referenced by:  fztri3or  9770  modifeq2int  10110  modsumfzodifsn  10120  exp3val  10246  cvgratz  11252
  Copyright terms: Public domain W3C validator