Theorem zdclt 9268

Description: Integer < is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdclt	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A < B )

Proof of Theorem zdclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9234	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9195	. . 3 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		zre 9195	. . 3 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
4		orc 702	. . . . . 6 |- ( A < B -> ( A < B \/ -. A < B ) )
5		df-dc 825	. . . . . 6 |- (DECID A < B <-> ( A < B \/ -. A < B ) )
6	4, 5	sylibr 133	. . . . 5 |- ( A < B -> DECID A < B )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> DECID A < B ) )
8		ltnr 7975	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> -. A < A )
9	8	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> -. A < A )
10		breq2 3986	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( A < A <-> A < B ) )
11	10	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> ( A < A <-> A < B ) )
12	9, 11	mtbid 662	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> -. A < B )
13		olc 701	. . . . . . . 8 |- ( -. A < B -> ( A < B \/ -. A < B ) )
14	13, 5	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( -. A < B -> DECID A < B )
15	12, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> DECID A < B )
16	15	ex 114	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> DECID A < B ) )
17	16	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> DECID A < B ) )
18		ltnsym 7984	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> -. A < B ) )
19	18	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> -. A < B ) )
20	19, 14	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> DECID A < B ) )
21	7, 17, 20	3jaod 1294	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A < B ) )
22	2, 3, 21	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A < B ) )
23	1, 22	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A < B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   \/ w3o 967   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   RRcr 7752   < clt 7933   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  fztri3or  9974  modifeq2int  10321  modsumfzodifsn  10331  exp3val  10457  cvgratz  11473  infpnlem1  12289  infpnlem2  12290  lgsval  13545  lgscllem  13548  lgsneg  13565  lgsdilem  13568  lgsdir  13576  lgsdi  13578  lgsne0  13579