ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdclt Unicode version

Theorem zdclt 8822
Description: Integer  < is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
zdclt  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  -> DECID  A  <  B )

Proof of Theorem zdclt
StepHypRef Expression
1 ztri3or 8791 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B  \/  B  <  A ) )
2 zre 8752 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
3 zre 8752 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
4 orc 668 . . . . . 6  |-  ( A  <  B  ->  ( A  <  B  \/  -.  A  <  B ) )
5 df-dc 781 . . . . . 6  |-  (DECID  A  < 
B  <->  ( A  < 
B  \/  -.  A  <  B ) )
64, 5sylibr 132 . . . . 5  |-  ( A  <  B  -> DECID  A  <  B )
76a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  -> DECID  A  <  B ) )
8 ltnr 7560 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  A  <  A )
98adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  -.  A  <  A
)
10 breq2 3849 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <  A  <->  A  <  B ) )
1110adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  ( A  <  A  <->  A  <  B ) )
129, 11mtbid 632 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  -.  A  <  B
)
13 olc 667 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  <  B  -> 
( A  <  B  \/  -.  A  <  B
) )
1413, 5sylibr 132 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  <  B  -> DECID  A  <  B )
1512, 14syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  -> DECID  A  <  B )
1615ex 113 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  B  -> DECID  A  < 
B ) )
1716adantr 270 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  -> DECID 
A  <  B )
)
18 ltnsym 7569 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  -.  A  <  B
) )
1918ancoms 264 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  -.  A  <  B
) )
2019, 14syl6 33 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  -> DECID  A  <  B ) )
217, 17, 203jaod 1240 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  < 
B  \/  A  =  B  \/  B  < 
A )  -> DECID  A  <  B ) )
222, 3, 21syl2an 283 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  < 
B  \/  A  =  B  \/  B  < 
A )  -> DECID  A  <  B ) )
231, 22mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  -> DECID  A  <  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    \/ w3o 923    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   RRcr 7347    < clt 7520   ZZcz 8748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749
This theorem is referenced by:  fztri3or  9451  modifeq2int  9789  modsumfzodifsn  9799  exp3val  9953  cvgratz  10922
  Copyright terms: Public domain W3C validator