Theorem ltso 8099

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8098	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 < 𝑥)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ 𝑥 < 𝑥)
3		lttr 8095	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
5	2, 4	ispod 4336	. . 3 ⊢ (⊤ → < Po ℝ)
6	5	mptru 1373	. 2 ⊢ < Po ℝ
7		axltwlin 8089	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦)))
8	7	rgen3 2581	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦))
9		df-iso 4329	. 2 ⊢ ( < Or ℝ ↔ ( < Po ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦))))
10	6, 8, 9	mpbir2an 944	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   ∧ w3a 980  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   class class class wbr 4030   Po wpo 4326   Or wor 4327  ℝcr 7873   < clt 8056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061

This theorem is referenced by:  gtso  8100  ltnsym2  8112  suprlubex  8973  fimaxq  10901