Theorem ltso 8132

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8131	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 < 𝑥)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ 𝑥 < 𝑥)
3		lttr 8128	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
5	2, 4	ispod 4349	. . 3 ⊢ (⊤ → < Po ℝ)
6	5	mptru 1381	. 2 ⊢ < Po ℝ
7		axltwlin 8122	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦)))
8	7	rgen3 2592	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦))
9		df-iso 4342	. 2 ⊢ ( < Or ℝ ↔ ( < Po ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦))))
10	6, 8, 9	mpbir2an 944	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   ∧ w3a 980  ⊤wtru 1373   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483   class class class wbr 4043   Po wpo 4339   Or wor 4340  ℝcr 7906   < clt 8089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-po 4341  df-iso 4342  df-xp 4679  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094

This theorem is referenced by:  gtso  8133  ltnsym2  8145  suprlubex  9007  fimaxq  10953