Theorem ltso 8170

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8169	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 < 𝑥)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ 𝑥 < 𝑥)
3		lttr 8166	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
5	2, 4	ispod 4359	. . 3 ⊢ (⊤ → < Po ℝ)
6	5	mptru 1382	. 2 ⊢ < Po ℝ
7		axltwlin 8160	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦)))
8	7	rgen3 2594	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦))
9		df-iso 4352	. 2 ⊢ ( < Or ℝ ↔ ( < Po ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦))))
10	6, 8, 9	mpbir2an 945	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   ∧ w3a 981  ⊤wtru 1374   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485   class class class wbr 4051   Po wpo 4349   Or wor 4350  ℝcr 7944   < clt 8127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132

This theorem is referenced by:  gtso  8171  ltnsym2  8183  suprlubex  9045  fimaxq  10994