ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltso GIF version

Theorem ltso 7854
Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
ltso < Or ℝ

Proof of Theorem ltso
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltnr 7853 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 < 𝑥)
21adantl 275 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ 𝑥 < 𝑥)
3 lttr 7850 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
43adantl 275 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
52, 4ispod 4226 . . 3 (⊤ → < Po ℝ)
65mptru 1340 . 2 < Po ℝ
7 axltwlin 7844 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)))
87rgen3 2519 . 2 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦))
9 df-iso 4219 . 2 ( < Or ℝ ↔ ( < Po ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦))))
106, 8, 9mpbir2an 926 1 < Or ℝ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 697  w3a 962  wtru 1332  wcel 1480  wral 2416   class class class wbr 3929   Po wpo 4216   Or wor 4217  cr 7631   < clt 7812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-ltxr 7817
This theorem is referenced by:  gtso  7855  ltnsym2  7866  suprlubex  8722  fimaxq  10585
  Copyright terms: Public domain W3C validator