Theorem mapdm0 6875

Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 3-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mapdm0	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ↑𝑚 ∅) = {∅})

Proof of Theorem mapdm0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4221	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		elmapg 6873	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
4		f0bi 5538	. . . 4 ⊢ (𝑓:∅⟶𝐵 ↔ 𝑓 = ∅)
5	3, 4	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓 = ∅))
6		vex 2806	. . . 4 ⊢ 𝑓 ∈ V
7	6	elsn 3689	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} ↔ 𝑓 = ∅)
8	5, 7	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓 ∈ {∅}))
9	8	eqrdv 2229	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ↑𝑚 ∅) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  ∅c0 3496  {csn 3673  ⟶wf 5329  (class class class)co 6028   ↑_𝑚 cmap 6860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-map 6862

This theorem is referenced by: (None)