ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapdm0 GIF version

Theorem mapdm0 6525
Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 3-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
mapdm0 (𝐵𝑉 → (𝐵𝑚 ∅) = {∅})

Proof of Theorem mapdm0
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4025 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 elmapg 6523 . . . . 5 ((𝐵𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
31, 2mpan2 421 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
4 f0bi 5285 . . . 4 (𝑓:∅⟶𝐵𝑓 = ∅)
53, 4syl6bb 195 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 ∅) ↔ 𝑓 = ∅))
6 vex 2663 . . . 4 𝑓 ∈ V
76elsn 3513 . . 3 (𝑓 ∈ {∅} ↔ 𝑓 = ∅)
85, 7syl6bbr 197 . 2 (𝐵𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 ∅) ↔ 𝑓 ∈ {∅}))
98eqrdv 2115 1 (𝐵𝑉 → (𝐵𝑚 ∅) = {∅})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  Vcvv 2660  c0 3333  {csn 3497  wf 5089  (class class class)co 5742  𝑚 cmap 6510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-map 6512
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator