Theorem mapdm0 6511

Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 3-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mapdm0	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ↑𝑚 ∅) = {∅})

Proof of Theorem mapdm0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4015	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		elmapg 6509	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
3	1, 2	mpan2 419	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
4		f0bi 5273	. . . 4 ⊢ (𝑓:∅⟶𝐵 ↔ 𝑓 = ∅)
5	3, 4	syl6bb 195	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓 = ∅))
6		vex 2660	. . . 4 ⊢ 𝑓 ∈ V
7	6	elsn 3509	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} ↔ 𝑓 = ∅)
8	5, 7	syl6bbr 197	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓 ∈ {∅}))
9	8	eqrdv 2113	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ↑𝑚 ∅) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  Vcvv 2657  ∅c0 3329  {csn 3493  ⟶wf 5077  (class class class)co 5728   ↑_𝑚 cmap 6496

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-map 6498

This theorem is referenced by: (None)