ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapdm0 GIF version

Theorem mapdm0 6666
Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 3-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
mapdm0 (𝐵𝑉 → (𝐵𝑚 ∅) = {∅})

Proof of Theorem mapdm0
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4132 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 elmapg 6664 . . . . 5 ((𝐵𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
31, 2mpan2 425 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
4 f0bi 5410 . . . 4 (𝑓:∅⟶𝐵𝑓 = ∅)
53, 4bitrdi 196 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 ∅) ↔ 𝑓 = ∅))
6 vex 2742 . . . 4 𝑓 ∈ V
76elsn 3610 . . 3 (𝑓 ∈ {∅} ↔ 𝑓 = ∅)
85, 7bitr4di 198 . 2 (𝐵𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 ∅) ↔ 𝑓 ∈ {∅}))
98eqrdv 2175 1 (𝐵𝑉 → (𝐵𝑚 ∅) = {∅})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2739  c0 3424  {csn 3594  wf 5214  (class class class)co 5878  𝑚 cmap 6651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-map 6653
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator