Theorem mapsnf1o2 6662

Description: Explicit bijection between a set and its singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	⊢ 𝑆 = {𝑋}
mapsncnv.b	⊢ 𝐵 ∈ V
mapsncnv.x	⊢ 𝑋 ∈ V
mapsncnv.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o2	⊢ 𝐹:(𝐵 ↑𝑚 𝑆)–1-1-onto→𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem mapsnf1o2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2729	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		mapsncnv.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
3	1, 2	fvex 5506	. . 3 ⊢ (𝑥‘𝑋) ∈ V
4		mapsncnv.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋))
5	3, 4	fnmpti 5316	. 2 ⊢ 𝐹 Fn (𝐵 ↑𝑚 𝑆)
6		mapsncnv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑋}
7	2	snex 4164	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
8	6, 7	eqeltri 2239	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ V
9		vex 2729	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	9	snex 4164	. . . 4 ⊢ {𝑦} ∈ V
11	8, 10	xpex 4719	. . 3 ⊢ (𝑆 × {𝑦}) ∈ V
12		mapsncnv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	6, 12, 2, 4	mapsncnv 6661	. . 3 ⊢ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 × {𝑦}))
14	11, 13	fnmpti 5316	. 2 ⊢ ◡𝐹 Fn 𝐵
15		dff1o4 5440	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐵 ↑𝑚 𝑆)–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
16	5, 14, 15	mpbir2an 932	1 ⊢ 𝐹:(𝐵 ↑𝑚 𝑆)–1-1-onto→𝐵

Syntax hints:   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726  {csn 3576   ↦ cmpt 4043   × cxp 4602  ^◡ccnv 4603   Fn wfn 5183  –1-1-onto→wf1o 5187  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842   ↑_𝑚 cmap 6614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-map 6616

This theorem is referenced by:  mapsnf1o3  6663