Theorem mapsnf1o2 6790

Description: Explicit bijection between a set and its singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	⊢ 𝑆 = {𝑋}
mapsncnv.b	⊢ 𝐵 ∈ V
mapsncnv.x	⊢ 𝑋 ∈ V
mapsncnv.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o2	⊢ 𝐹:(𝐵 ↑𝑚 𝑆)–1-1-onto→𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem mapsnf1o2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2776	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		mapsncnv.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
3	1, 2	fvex 5603	. . 3 ⊢ (𝑥‘𝑋) ∈ V
4		mapsncnv.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ↦ (𝑥‘𝑋))
5	3, 4	fnmpti 5410	. 2 ⊢ 𝐹 Fn (𝐵 ↑𝑚 𝑆)
6		mapsncnv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑋}
7	2	snex 4233	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
8	6, 7	eqeltri 2279	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ V
9		vex 2776	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	9	snex 4233	. . . 4 ⊢ {𝑦} ∈ V
11	8, 10	xpex 4794	. . 3 ⊢ (𝑆 × {𝑦}) ∈ V
12		mapsncnv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	6, 12, 2, 4	mapsncnv 6789	. . 3 ⊢ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 × {𝑦}))
14	11, 13	fnmpti 5410	. 2 ⊢ ◡𝐹 Fn 𝐵
15		dff1o4 5537	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐵 ↑𝑚 𝑆)–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
16	5, 14, 15	mpbir2an 945	1 ⊢ 𝐹:(𝐵 ↑𝑚 𝑆)–1-1-onto→𝐵

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  {csn 3634   ↦ cmpt 4109   × cxp 4677  ^◡ccnv 4678   Fn wfn 5271  –1-1-onto→wf1o 5275  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951   ↑_𝑚 cmap 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-map 6744

This theorem is referenced by:  mapsnf1o3  6791